"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Аналитическое задание позволяет описать фигуру на плоскости с помощью условия на координаты её точек. Вместо того чтобы только рассматривать чертёж, можно проверить принадлежность точки подстановкой чисел в уравнение или неравенство. Так координаты связывают геометрию и вычисления: уравнения задают, например, прямые и окружности, а неравенства могут описывать области вместе с их границами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Аналитическое задание фигуры — это описание фигуры условием на координаты её точек. Точка принадлежит фигуре тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют этому условию. Например, условие может быть равенством или неравенством. Оно позволяет проверить принадлежность точки, не полагаясь только на рисунок.
Уравнение фигуры — равенство с координатами x и y, которому удовлетворяют координаты всех точек фигуры и только они. Пары чисел, при которых равенство верно, образуют множество решений уравнения. Каждой такой паре соответствует точка на координатной плоскости. Поэтому уравнение можно представить как способ описать фигуру численно.
Множество решений уравнения — это все пары координат, при подстановке которых уравнение становится верным. На координатной плоскости каждой паре соответствует точка. Если отметить все эти точки, получится изображение уравнения. Это понятие помогает перейти от вычислений к геометрической фигуре.
Неравенство, задающее фигуру, — условие на координаты, которому удовлетворяют точки некоторой области плоскости, а не только её границы. Например, оно может включать точки внутри окружности и точки на ней. Неравенство полезно, когда нужно описать целую область. Чтобы выяснить, входит ли точка в эту область, её координаты подставляют в условие.
Координатная плоскость связывает геометрическую точку с парой чисел: первое число — абсцисса x, второе — ордината y. Поэтому условие на x и y можно проверить для любой точки, координаты которой известны. Если условие выполняется, точка подходит под описание фигуры; если не выполняется — не подходит. Такой способ заменяет догадки по чертежу точной проверкой.
Уравнение задаёт фигуру потому, что каждое его решение — пара чисел, а значит, координаты некоторой точки. Все точки, координаты которых делают равенство верным, вместе и образуют изображение уравнения на плоскости. Других точек в этой фигуре нет: их координаты не превратили бы равенство в верное. Так алгебраическое условие одновременно отбирает точки и описывает геометрический объект.
Чтобы получить уравнение окружности, возьмём точку (x; y) на ней и центр (a; b). По определению окружности расстояние от любой её точки до центра постоянно и равно радиусу r. По формуле расстояния это √((x − a)² + (y − b)²) = r. Возведём обе части в квадрат и получим (x − a)² + (y − b)² = r²; именно это равенство выполняется для точек окружности.
Равенство окружности и неравенство круга описывают разные множества точек. В равенстве (x − a)² + (y − b)² = r² расстояние до центра точно равно r, поэтому речь идёт только о границе. В условии (x − a)² + (y − b)² ≤ r² расстояние может быть меньше r или равно ему. Значит, оно включает и внутренние точки, и границу круга.
Простые условия можно распознавать по координате, которая в них зафиксирована. При x = a абсцисса точки неизменна, а ордината может быть любой, поэтому все подходящие точки стоят на вертикальной прямой. При y = b постоянна ордината, а абсцисса свободно меняется, так что получается горизонтальная прямая. Сравнивая условие с этими случаями, легче определить фигуру, не перебирая точки по одной.
Таблица связывает условие на координаты с точками, которые ему удовлетворяют, и соответствующей фигурой. Пользуйся ею, чтобы распознать прямую, окружность или круг. При проверке конкретной точки отдельно подставляй обе её координаты в условие.
| Условие на координаты | Какие точки ему удовлетворяют | Фигура на плоскости |
|---|---|---|
| x = a | Точки с абсциссой a | Вертикальная прямая |
| y = b | Точки с ординатой b | Горизонтальная прямая |
| (x − a)² + (y − b)² = r² | Точки на расстоянии r от (a; b) | Окружность |
| (x − a)² + (y − b)² ≤ r² | Точки на расстоянии не больше r от (a; b) | Круг |
Задача 1. Определить, принадлежит ли точка A(2; 3) фигуре, заданной условием x = 2. Здесь задано значение абсциссы, поэтому достаточно сравнить его с первой координатой точки. Подставим координаты точки в условие: вместо x поставим 2. Получим верное равенство 2 = 2.
Ответ: точка A принадлежит фигуре.
Задача 2. Записать уравнение окружности с центром C(1; −2) и радиусом 3. Ищем условие для произвольной точки (x; y), расстояние от которой до центра равно радиусу. Подставим координаты центра в формулу окружности: в скобках будут разности x − 1 и y − (−2). После упрощения второй разности получим y + 2.
Ответ: (x − 1)² + (y + 2)² = 9.
Задача 3. Описать фигуру (x − 2)² + (y + 1)² ≤ 9 и определить, принадлежит ли ей точка B(4; 1). Сначала сопоставим условие с формулой круга: под знаком квадрата стоят координатные разности, а справа находится 3². Так находим центр (2; −1) и радиус 3. Затем отдельно проверим координаты точки подстановкой.
Ответ: задан круг с центром (2; −1) и радиусом 3; точка B принадлежит ему.
Иногда уравнение окружности принимают за описание всего круга. Ошибка возникает потому, что в обычной речи окружность и круг часто смешивают, но в уравнении стоит точное расстояние r. Проверь себя на внутренней точке: её расстояние до центра меньше радиуса, поэтому равенство не выполняется. Для всего круга нужно неравенство с соответствующим знаком.
При записи формулы можно перепутать знаки координат центра. Если центр имеет координаты (a; b), в скобках стоят x − a и y − b; отрицательное значение b при подстановке превращает вычитание в сложение. Такая путаница обычно появляется, когда знак центра пытаются перенести на глаз. Проверь себя, подставив координаты самого центра: обе разности должны обратиться в ноль.
Ещё одна ошибка — забыть возвести одну из разностей в квадрат. Это меняет условие и уже не соответствует формуле расстояния между точками. Иногда ученик возводит в квадрат только один член, потому что воспринимает запись невнимательно. Перед ответом проверь, что квадрат есть и у (x − a), и у (y − b), а справа записано r².
При проверке точки бывает, что подставляют только одну координату, хотя условие зависит и от x, и от y. Так можно получить неполную проверку и ошибочно решить, что точка принадлежит фигуре. Сначала посмотри на все переменные в условии, затем замени каждую соответствующей координатой точки. Если условие содержит x и y, проверь, что подставлены оба числа.
Для работы с аналитическим заданием нужны координаты точек на плоскости, а также понятия абсциссы и ординаты. Нужно уметь читать запись точки (x; y), чтобы не перепутать порядок чисел. При выводе уравнения окружности используется формула расстояния между точками. Эти знания помогают понять, откуда берутся координатные условия, а не только подставлять числа по образцу.
Аналитическое задание фигур пригодится при изучении координатного метода: геометрическую задачу можно будет переводить в вычисления с координатами. Оно связано и с графиками уравнений, потому что график состоит из точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Зная это, можно по формуле строить фигуры и, наоборот, описывать фигуры уравнениями. Такой подход помогает решать геометрические задачи точной проверкой координат.
Что значит задать фигуру аналитически?
Это значит описать фигуру условием на координаты её точек. Точка принадлежит фигуре тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют этому условию.
Как понять, принадлежит ли точка фигуре, заданной уравнением?
Подставь абсциссу точки вместо x, а ординату вместо y. Если равенство становится верным, точка принадлежит фигуре; если нет — не принадлежит.
Почему уравнение окружности содержит квадраты разностей координат?
Расстояние от точки (x; y) до центра (a; b) вычисляют по формуле √((x − a)² + (y − b)²). Для окружности это расстояние должно быть равно радиусу, поэтому после возведения обеих частей в квадрат получают (x − a)² + (y − b)² = r².
Чем уравнение окружности отличается от условия, задающего круг?
Уравнение окружности — это равенство, которому удовлетворяют только точки границы. Условие (x − a)² + (y − b)² ≤ r² задаёт круг: оно включает точки внутри границы и точки самой границы.
Как по уравнению определить, какую фигуру оно задаёт?
Сначала посмотри, какие координаты ограничивает условие: x = a задаёт вертикальную прямую, а y = b — горизонтальную. В выражении (x − a)² + (y − b)² = r² узнай уравнение окружности, а если вместо равенства стоит ≤, оно задаёт круг.
§ 73*. Аналитическое задание фигур на плоскости
