§ 72. Уравнение прямой

Определения и обозначения

Уравнение прямой — равенство с координатами x и y, которому удовлетворяют координаты точек этой прямой. Например, для уравнения y = 2x + 1 координаты каждой точки прямой делают равенство верным. Такая запись позволяет описывать прямую числами и находить её точки без измерения на чертеже.

Координаты точки прямой — значения x и y, которые при подстановке обращают уравнение прямой в верное равенство. Здесь x — абсцисса, то есть координата по горизонтали, а y — ордината, координата по вертикали. Это определение помогает проверить, подходит ли данная точка к уравнению, или найти одну координату по другой.

Угловой коэффициент — число k в уравнении y = kx + b, задающее наклон прямой. Он показывает, как изменяется y, когда x увеличивается на единицу. По знаку k можно понять, поднимается прямая слева направо или опускается, а при k = 0 она горизонтальна.

Свободный член — число b в уравнении y = kx + b; оно показывает ординату точки пересечения прямой с осью y. На этой оси x = 0, поэтому в уравнении остаётся y = b. Зная b, легко отметить одну точку прямой ещё до построения её графика.

Как это устроено

Координатная плоскость задаёт каждой точке пару чисел: горизонтальную координату x и вертикальную y. Если между ними установить равенство, например y = 2x + 1, можно проверить, какие пары подходят. Подходящим парам соответствуют точки, и все они лежат на одной прямой, потому что зависимость между координатами линейная. Так геометрический объект можно описать с помощью чисел и вычислений.

В записи y = kx + b сначала выбирают значение x, а затем по формуле находят y. Например, если x = 2, то для y = 2x + 1 получается y = 5, и возникает точка (2; 5). Для другого x получится другая точка, но все найденные пары будут удовлетворять одному и тому же правилу. Поэтому формула задаёт не одну точку, а целую прямую.

Угловой коэффициент k определяет, как меняется y при движении вправо по координатной плоскости. Если k положительный, произведение kx растёт вместе с x, и прямая поднимается; если k отрицательный, y уменьшается, и прямая опускается. При k = 0 значение y не зависит от x: получается горизонтальная прямая, параллельная оси x. Это позволяет определить направление графика, даже не строя его.

Свободный член b показывает, где график пересекает вертикальную ось. На оси y горизонтальная координата равна нулю, поэтому подстановка x = 0 в уравнение даёт y = b. Значит, точка пересечения имеет координаты (0; b): например, при b = 3 это точка (0; 3). Такое знание помогает сразу отметить на чертеже одну точку будущей прямой.

Чтобы проверить принадлежность точки прямой, нужно сравнить её координаты с уравнением. Абсциссу подставляют вместо x, а ординату — вместо y, поскольку каждое число отвечает за своё место в паре. Если после подстановки левая и правая части равны, точка удовлетворяет уравнению и лежит на графике. Если равенство неверно, точка прямой не принадлежит.

Как параметры уравнения y = kx + b задают прямую

Сначала найди в уравнении k и b, затем по таблице определи направление и точку пересечения с осью y. Чтобы проверить конкретную точку, используй последнюю строку: обе координаты должны оказаться на своих местах. Если известен график, направление и пересечение с осью y можно определить по нему и сопоставить с параметрами.

График уравнения y = 2x + 1

Каждая точка прямой имеет координаты, удовлетворяющие уравнению. Прямая пересекает ось y в точке (0; 1).

Разбор задач

Задача 1. Проверить, принадлежит ли точка A(2; 5) прямой y = 2x + 1. Сначала определяем, что x = 2, а y = 5: координаты нельзя менять местами. Затем проверяем, совпадает ли значение y с результатом вычисления правой части. Если равенство выполняется, точка подходит уравнению.

1. Подставляем координаты точки: вместо x ставим 2, вместо y — 5.
2. Считаем правую часть: 2 · 2 + 1 = 5.
3. Сравниваем части: 5 = 5, равенство верно.

Ответ: точка A(2; 5) принадлежит прямой. Проверка сработала, потому что обе координаты использованы в уравнении на правильных местах. Если бы получились разные числа, точка не лежала бы на этой прямой.

Задача 2. Построить график прямой y = −x + 3. Для построения прямой достаточно найти две точки, удовлетворяющие уравнению. Удобно выбрать пересечения с осями: на каждой оси одна из координат равна нулю. После вычисления координат останется отметить точки и провести через них прямую.

1. Для пересечения с осью y берём x = 0: y = −0 + 3 = 3, получаем точку (0; 3).
2. Для пересечения с осью x берём y = 0: 0 = −x + 3, значит, x = 3, получаем точку (3; 0).
3. Отмечаем обе точки на координатной плоскости и проводим через них прямую.

Ответ: график — прямая через точки (0; 3) и (3; 0). Её наклон направлен вниз слева направо, потому что угловой коэффициент равен −1. Любая точка проведённой прямой должна удовлетворять исходному уравнению.

Задача 3. Составить уравнение вида y = kx + b для прямой через A(0; −2) и B(2; 2). Чтобы найти b, используем точку с x = 0: её ордината сразу показывает пересечение с осью y. Затем определим k по тому, насколько изменились y и x между точками. В конце проверим полученное уравнение подстановкой обеих точек.

1. Из точки A(0; −2) получаем b = −2.
2. При переходе от A к B координата x увеличилась на 2, а y — на 4, поэтому k = 4 : 2 = 2.
3. Записываем уравнение y = 2x − 2. Для A: −2 = 2 · 0 − 2; для B: 2 = 2 · 2 − 2.

Ответ: y = 2x − 2. Подстановка показывает, что уравнению удовлетворяют обе заданные точки. Значит, прямая с этим уравнением проходит через A и B.

Типичные ошибки

Координаты точки иногда подставляют не на свои места: вместо x — ординату, а вместо y — абсциссу. Это случается, если забыть порядок записи (x; y). Перед вычислением подпиши, какое число обозначает x и какое — y, а после подстановки проверь, что оба стоят на нужных местах.

Можно ошибочно принять b за абсциссу пересечения с осью y. Но на вертикальной оси всегда x = 0, поэтому b является ординатой, а точка пересечения имеет вид (0; b). Проверить себя можно подстановкой нуля вместо x: в уравнении y = kx + b останется y = b.

Ещё одна ошибка — определить направление прямой, не учитывая знак k. Иногда смотрят только на число и забывают, что минус меняет направление изменения y. Проверь знак перед k: при k > 0 прямая возрастает, при k < 0 убывает, а при k = 0 идёт параллельно оси x.

Для проверки точки недостаточно подставить только одну координату. Так нельзя убедиться, что именно пара чисел удовлетворяет уравнению, ведь x и y связаны между собой. Подставь абсциссу в место x, ординату в место y, затем сравни обе части равенства.

Связь с другими темами

Чтобы работать с уравнением прямой, нужно уметь читать координатную плоскость и различать абсциссу и ординату. Также пригодится подстановка чисел в выражения: она помогает вычислять значение y и проверять точки. Позже уравнение y = kx + b встретится при изучении графиков линейных функций. Графическое изображение прямых также используют при решении систем уравнений: их решение можно искать как точку пересечения графиков.

Что запомнить

• Уравнение прямой связывает координаты всех её точек.
• В уравнении y = kx + b угловой коэффициент — k, свободный член — b.
• График уравнения y = kx + b — прямая.
• Точка пересечения с осью y имеет координаты (0; b).
• При k = 0 прямая параллельна оси x.
• Чтобы проверить принадлежность точки прямой, подставь обе её координаты в уравнение.