91. Уравнение прямой

Определения и обозначения

Уравнение прямой — равенство с переменными координатами точки, которому удовлетворяют координаты каждой точки прямой и только они. Иначе говоря, если подставить координаты точки прямой, равенство станет верным, а решения уравнения зададут точки этой прямой. Такое описание позволяет задавать прямую числами и находить её точки вычислением.

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид Ax + By + C = 0, где A и B не равны нулю одновременно. Буквы A, B и C обозначают числа, а x и y — координаты точки. Эта форма нужна как универсальная запись, в том числе для прямых, которые нельзя выразить через y.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y = kx + b. Число k задаёт наклон прямой: оно показывает, как меняется y при изменении x, а b — ординату точки пересечения прямой с осью Oy. Эта запись удобна, когда нужно увидеть наклон и найти пересечение с вертикальной осью.

Прямую через точку (x₀; y₀) с угловым коэффициентом k записывают как y − y₀ = k(x − x₀). Здесь x₀ и y₀ — координаты известной точки, а k задаёт наклон. Формула помогает составить уравнение, когда известны точка на прямой и её направление.

Как это устроено

У прямой на плоскости есть множество точек, и у каждой — пара координат. Для точек одной прямой координаты связаны одним и тем же линейным равенством, поэтому подстановка координат любой из них делает равенство верным. Обратно, если координаты удовлетворяют этому равенству, они задают точку прямой. Так уравнение описывает прямую через все её точки, а не только через одну выбранную точку.

Чтобы преобразовать Ax + By + C = 0 к виду с y слева, сначала перенеси Ax и C в правую часть: By = −Ax − C. Если B ≠ 0, раздели обе части и каждое слагаемое справа на B: y = −(A/B)x − C/B. Сравнивая результат с y = kx + b, получаем k = −A/B и b = −C/B. Делить можно именно при B ≠ 0; иначе такой способ выражения y не работает.

Пусть известны две точки прямой: A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), причём x₁ ≠ x₂. При переходе от первой точки ко второй абсцисса меняется на x₂ − x₁, а ордината — на y₂ − y₁, поэтому угловой коэффициент равен k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Это отношение показывает, насколько меняется y на каждую единицу изменения x. Например, положительное k соответствует возрастанию y при движении вправо, а отрицательное — убыванию.

Если известны точка (x₀; y₀) и угловой коэффициент k, используй равенство y − y₀ = k(x − x₀). Разности слева и справа показывают, насколько координаты произвольной точки отличаются от координат известной. Чтобы составить уравнение, подставь x₀, y₀ и k на их места. В результате получится равенство, которому удовлетворяет заданная точка и все точки той же прямой.

У вертикальной прямой абсцисса у всех точек одна и та же: x = a, а ордината может быть любой. В записи y = kx + b для одного значения x получается только одно значение y, поэтому вертикальную прямую таким способом описать нельзя. Однако в общем уравнении она записывается как x − a = 0, то есть принадлежит общему виду: здесь A = 1, B = 0, C = −a. Это объясняет, почему общий вид охватывает больше случаев.

Виды уравнений прямой и их применение

Сначала определи, какие сведения даны: коэффициенты, наклон, точка или одинаковая абсцисса. Затем выбери строку таблицы с подходящей записью. Если прямая вертикальна, пользуйся уравнением x = a, а не формулой с угловым коэффициентом.

Разбор задач

Рассмотрим, как выбрать формулу по условию и проверить полученный результат. В первой задаче даны точка и угловой коэффициент, во второй — две точки, а в третьей — уравнение общего вида. В каждом случае сначала определим, какие данные известны, затем выполним необходимые преобразования.

Задача 1

Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом 2, проходящей через точку (1; 3). Известны k = 2, x₀ = 1 и y₀ = 3, поэтому подходит формула через точку и коэффициент. Подстановка координат позволит получить уравнение, которому удовлетворяет заданная точка.

1. Записываем формулу: y − y₀ = k(x − x₀).
2. Подставляем данные: y − 3 = 2(x − 1).
3. Раскрываем скобки: y − 3 = 2x − 2, значит, y = 2x + 1.

Проверим подстановкой координат точки: при x = 1 правая часть равна 2 · 1 + 1 = 3. Значит, точка (1; 3) лежит на найденной прямой, и её уравнение — y = 2x + 1. Свободный член 1 показывает ординату пересечения с осью Oy.

Задача 2

Составьте уравнение прямой через A(−1; 2) и B(3; 4). Сначала найдём угловой коэффициент: абсциссы различаются, поэтому формулу для k применять можно. Затем используем точку A в формуле через точку и коэффициент.

1. Вычисляем k = (4 − 2)/(3 − (−1)) = 2/4 = ½.
2. Подставляем A(−1; 2) и k = ½: y − 2 = ½(x − (−1)).
3. Упрощаем: y − 2 = ½(x + 1), откуда y = ½x + 5/2.

Проверим вторую точку: при x = 3 получаем y = ½ · 3 + 5/2 = 4. Значит, уравнение проходит и через B(3; 4), как требует условие. Ответ: y = ½x + 5/2.

Задача 3

Приведите уравнение 3x − 2y + 6 = 0 к виду y = kx + b и найдите пересечение с осью Oy. Чтобы получить нужный вид, выразим y, перенеся остальные слагаемые и разделив всё на коэффициент при y. На оси Oy абсцисса равна нулю, поэтому после преобразования точку пересечения легко определить.

1. Переносим слагаемые: −2y = −3x − 6.
2. Делим каждое слагаемое на −2: y = 3/2x + 3.
3. При x = 0 получаем y = 3, значит, точка пересечения с Oy — (0; 3).

Свободный член полученного уравнения равен 3, и именно он задаёт ординату пересечения с осью Oy. Подстановка x = 0 подтверждает результат напрямую. Ответ: y = 3/2x + 3; точка пересечения — (0; 3).

Типичные ошибки

При переходе от Ax + By + C = 0 к y = kx + b иногда неверно определяют k и b, перенося только часть выражения или деля не все слагаемые. Ошибку легко допустить из-за знаков при переносе через знак равенства. Проверка: подставь найденное выражение для y в исходное уравнение и убедись, что равенство выполняется.

Угловой коэффициент иногда считают как (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁), меняя местами разности. Нужно делить изменение ординаты на изменение абсциссы: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Для самопроверки проследи, что в числителе стоят координаты y, а в знаменателе — координаты x.

Формулу для k нельзя применять, если абсциссы двух точек одинаковы: знаменатель x₂ − x₁ тогда равен нулю. Такая ситуация означает, что прямая вертикальна, а не то, что расчёт можно продолжить делением на ноль. Проверь абсциссы до вычисления; при x₁ = x₂ запиши уравнение x = x₁.

Иногда считают, что любая прямая y = kx + b проходит через начало координат. При x = 0 эта прямая имеет y = b, поэтому точка (0; 0) принадлежит ей только при b = 0. Проверить себя можно простой подстановкой координат начала координат в уравнение.

Связь с другими темами

Для работы с уравнением прямой нужны координаты точек на плоскости, знание линейных уравнений и умение преобразовывать выражения. Уравнения прямых помогают находить точки пересечения графиков и решать системы линейных уравнений: общая точка графиков задаёт решение системы. В координатном методе геометрии они позволяют описывать прямые вычислениями. Угловой коэффициент связывает такую запись с наклоном прямой и графиками линейных функций.

Что запомнить

• Координаты каждой точки прямой удовлетворяют её уравнению.
• Общий вид уравнения прямой: Ax + By + C = 0, где A и B не равны нулю одновременно.
• При B ≠ 0 общее уравнение можно записать как y = kx + b.
• Угловой коэффициент по двум точкам равен (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), если x₁ ≠ x₂.
• Прямая через (x₀; y₀) с угловым коэффициентом k задаётся уравнением y − y₀ = k(x − x₀).
• Вертикальная прямая имеет уравнение x = a и не задаётся видом y = kx + b.