§20. Операции с векторами

Определения и обозначения

Сумма векторов — это вектор, который получают при последовательном сложении двух перемещений. По правилу треугольника конец первого вектора соединяют с началом второго, а результат идёт от начала первого к концу второго. Это помогает заменить два перемещения одним.

Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но направлены в разные стороны. Если один из них обозначен a, то противоположный записывают как −a. Их сумма — нулевой вектор: a + (−a) = 0, потому что перемещение вперёд и такое же перемещение назад взаимно уничтожаются.

Разность векторов — результат вычитания одного вектора из другого. Вычитание заменяют сложением с противоположным вектором: a − b = a + (−b). Такое определение позволяет пользоваться уже известными правилами построения суммы.

Произведение вектора на число — новый вектор, полученный изменением исходного вектора в несколько раз. Число меняет длину вектора в |k| раз, а его знак отвечает за направление: при k > 0 направление сохраняется, при k < 0 становится противоположным. При k = 0 получается нулевой вектор.

Как это устроено

При построении суммы по правилу треугольника векторы рассматривают как последовательные перемещения. Конец первого совмещают с началом второго, поэтому общее перемещение начинается там же, где началось первое, и заканчивается там, где закончилось второе. Вектор между этими точками и есть сумма, потому что он даёт тот же общий результат без промежуточной остановки.

Правило параллелограмма даёт ту же сумму, поскольку один и тот же перенос можно выполнить в любом месте плоскости. Векторы откладывают из общей точки и через их концы проводят параллельные прямые. Диагональ от общей точки к противоположной вершине объединяет оба направления и поэтому совпадает с результатом последовательного сложения.

Умножение на положительное число изменяет только масштаб вектора: каждый единичный отрезок направления повторяется нужное число раз. Поэтому длина увеличивается или уменьшается в указанное число раз, но сторона движения остаётся прежней. При отрицательном множителе появляется ещё и смена знака направления, так как движение выполняется в обратную сторону.

Вычитание выводится из определения суммы: найти a − b значит подобрать такой вектор, который при сложении с b даст a. Таким вектором является −b, потому что b + (−b) = 0. Поэтому вместо отдельного геометрического правила достаточно построить противоположный вектор и сложить его с уменьшаемым.

Координаты операций получают покоординатно, потому что каждая координата отвечает за отдельную ось. Горизонтальные компоненты складывают или вычитают только с горизонтальными, а вертикальные — с вертикальными. При умножении на число один и тот же множитель изменяет обе координаты, поэтому k(a₁; a₂) = (ka₁; ka₂).

Правила операций с векторами

В таблице сначала найдите нужную операцию, затем выберите геометрический способ или формулу. Координаты записывают в том же порядке: первая отвечает за одну ось, вторая — за другую. Особенно внимательно следите за знаками при вычитании и умножении на отрицательное число.

Если задача дана на чертеже, начинайте с построения, а затем при необходимости переходите к координатам. Если даны только координаты, сразу применяйте соответствующую строку таблицы.

Разбор задач

Задача 1. Построить сумму двух заданных векторов, отложенных последовательно. Пусть первый вектор направлен от точки A к точке B, а второй — от B к точке C. Требуется показать результирующий вектор и его направление.

1. Отметьте, что конец первого вектора B уже совпадает с началом второго. Поэтому дополнительное перенесение векторов не требуется.
2. Соедините начало первого вектора A с концом второго C. Полученный вектор AC идёт от начала первого перемещения к концу второго.
3. Запишите результат как AB + BC = AC. Направление суммы — от A к C, а не от C к A.

Ответ: сумма последовательных векторов равна вектору AC.

Задача 2. Даны векторы a = (3; −2) и b = (−1; 4). Найти a − b и 2b. Нужно отдельно выполнить вычитание и умножение, не смешивая координаты разных компонент.

1. Для разности вычтите соответствующие координаты: a − b = (3 − (−1); −2 − 4). При раскрытии скобок учитывайте, что вычитание отрицательного числа превращается в сложение.
2. Получаем a − b = (4; −6). Первая координата показывает итоговое изменение по первой оси, вторая — по второй.
3. Для произведения умножьте обе координаты b на 2: 2b = (2 · (−1); 2 · 4) = (−2; 8). Положительный множитель сохраняет направление исходного вектора.

Ответ: a − b = (4; −6), 2b = (−2; 8).

Задача 3. В треугольнике ABC выразить вектор AC через AB и BC, а затем найти его координаты, если AB = (2; 3), BC = (−5; 1). Векторы уже направлены последовательно: сначала движение из A в B, затем из B в C.

1. По правилу треугольника запишите общий перенос: AC = AB + BC. Это выражение показывает, как два участка пути образуют один.
2. Сложите первые координаты и отдельно вторые: AC = (2 + (−5); 3 + 1). Не соединяйте координату первой оси со второй.
3. Вычислите результат: AC = (−3; 4). Отрицательная первая координата означает направление в обратную сторону относительно выбранной положительной оси.

Ответ: AC = AB + BC = (−3; 4).

Типичные ошибки

При сложении иногда соединяют начала двух векторов или их концы. Так происходит, если воспринимать векторы только как отрезки и забывать об их направлениях. Проверьте себя: конец первого должен совпадать с началом второго, а сумма идёт от начала первого к концу второго.

При вычитании часто оставляют направление вычитаемого без изменений и фактически выполняют сложение. Причина ошибки — пропуск перехода к противоположному вектору. Запишите a − b = a + (−b) и только потом стройте или считайте результат.

При умножении на отрицательное число меняют длину, но сохраняют прежнюю стрелку. Это неверно, потому что знак множителя отвечает за направление. После вычисления проверьте: при k < 0 вектор должен быть направлен противоположно исходному.

В координатах иногда складывают первую координату одного вектора со второй координатой другого или неправильно работают со знаками. Такая ошибка появляется при невнимательной записи компонентов. Расставьте координаты столбцами и отдельно проверьте каждое действие.

Связь с другими темами

До изучения операций нужно знать, что такое вектор, его длина и направление, а также равные и противоположные векторы. Полезно уметь находить координаты вектора, потому что именно они позволяют выполнять вычисления без построения чертежа.

Операции с векторами используются в координатном методе и геометрических доказательствах. С их помощью находят направляющие векторы, координаты точек, длины и направления отрезков, а также описывают перемещения на плоскости.

Что запомнить

• Сумма векторов строится по правилу треугольника или параллелограмма.
• Сумма противоположных векторов — нулевой вектор.
• Вычитание вектора равносильно прибавлению противоположного.
• При умножении на положительное число направление сохраняется.
• При умножении на отрицательное число направление меняется на противоположное.
• Координаты векторов складывают, вычитают и умножают на число покомпонентно.