92. Сумма векторов

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого есть начало и конец. Его обозначают одной строчной буквой со стрелкой, например a⃗, или двумя буквами со стрелкой: AB⃗. Длину вектора a⃗ записывают как |a⃗| и называют модулем вектора. Эти обозначения помогают отдельно указывать, куда направлен отрезок и какова его длина.

Сумма двух векторов — вектор, который строят по правилу треугольника: конец первого слагаемого соединяют с началом второго, а сумму направляют от начала первого к концу второго. Так можно описать общий результат двух последовательных перемещений. Для построения не обязательно, чтобы исходные векторы уже были расположены нужным образом: их разрешается переносить параллельно самим себе.

Правило параллелограмма — способ построить сумму двух векторов, отложенных от одной точки. На этих векторах достраивают параллелограмм, а суммой считают его диагональ, выходящую из общего начала. Правило удобно, когда слагаемые уже изображены с общей начальной точкой, например в задачах на чертеже.

Противоположные векторы — векторы равной длины, направленные в противоположные стороны. Их сумма равна нулевому вектору, который обозначают 0⃗. Это определение позволяет распознавать случаи, когда два перемещения полностью компенсируют друг друга.

Как это устроено

Правило треугольника работает благодаря тому, что вектор можно переносить параллельно самому себе. При таком переносе сохраняются и длина, и направление, поэтому перенесённый вектор равен исходному. Расположив начало второго вектора в конце первого, мы изображаем два перемещения одно за другим. Отрезок от начальной точки первого до конечной точки второго показывает их общий результат.

Правило параллелограмма даёт тот же результат, что и правило треугольника, потому что параллельные стороны параллелограмма изображают равные векторы. Если из общей точки провести a⃗ и b⃗, то можно перенести b⃗ к концу a⃗. Полученная сторона треугольника вместе с a⃗ образует путь к противоположной вершине параллелограмма. Поэтому диагональ от общего начала к этой вершине совпадает с суммой, построенной по правилу треугольника.

Переместительное свойство сложения записывают так: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗. При построении параллелограмма перестановка слагаемых меняет местами стороны, но не меняет его диагональ из общей начальной точки. Значит, результат не зависит от того, какой из двух векторов считать первым. На практике это позволяет выбирать более удобный порядок построения.

Сочетательное свойство означает, что (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗). Если последовательно отложить три вектора, они образуют ломаную: каждый следующий начинается там, где заканчивается предыдущий. Суммарный вектор соединяет начало первого звена с концом третьего. Можно сначала объединить первые два вектора или последние два — конечные точки общего пути останутся теми же.

Если два вектора равны по длине, но направлены в противоположные стороны, то, следуя по первому, а затем по второму, мы возвращаемся к исходной точке. Поэтому их результирующее перемещение не имеет длины и обозначается нулевым вектором: a⃗ + (−a⃗) = 0⃗. Этот факт полезен и при построении, и при упрощении выражений с векторами. Знак минус указывает на направление, противоположное исходному вектору.

Способы сложения векторов и их свойства

Сначала посмотрите, как расположены слагаемые: это подскажет, какое правило применить без лишних переносов. Для последовательных векторов обычно проще правило треугольника, а для векторов из одной точки — правило параллелограмма. Оба способа дают один и тот же вектор суммы.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже векторы a⃗ и b⃗ расположены последовательно: конец a⃗ совпадает с началом b⃗. Требуется построить их сумму. Здесь удобное расположение уже задано, поэтому переносить слагаемые не нужно. Остаётся правильно определить начало и конец результирующего вектора.

1. Отметим начало вектора a⃗ и конец вектора b⃗. Это крайние точки всего пути, составленного из двух слагаемых.
2. Проведём направленный отрезок от начала a⃗ к концу b⃗. Направим стрелку к конечной точке, а не к месту соединения векторов.
3. Проверим, что второй вектор начинается именно там, где заканчивается первый, и его длина с направлением не изменены. Полученный отрезок и есть сумма по правилу треугольника.

Ответ: вектор от начала a⃗ к концу b⃗, то есть a⃗ + b⃗.

Задача 2. Из точки O выходят два вектора заданной длины и направления, обозначенные a⃗ и b⃗. Нужно построить их сумму. Поскольку начала слагаемых совпадают, удобно использовать правило параллелограмма. Диагональ, выходящая из O, сразу задаёт нужное направление результата.

1. Отложим оба заданных вектора от точки O, не меняя их длины и направления. Их концы обозначим A и B.
2. Через A проведём прямую, параллельную OB, а через B — прямую, параллельную OA. Точка пересечения этих прямых завершит построение параллелограмма.
3. Проведём диагональ из O к противоположной вершине. Она соединяет общее начало с концом пути по двум сторонам, поэтому изображает сумму.

Ответ: диагональ параллелограмма, проведённая из O, равна a⃗ + b⃗.

Задача 3. Даны вершины треугольника A, B и C. Требуется выразить вектор, соединяющий A и C, через векторы сторон AB⃗ и BC⃗. Направления здесь существенны: путь из A в C проходит сначала из A в B, затем из B в C. Именно такой последовательности соответствует правило треугольника.

1. Сравним конец AB⃗ с началом BC⃗: оба совпадают с точкой B, поэтому векторы уже расположены последовательно.
2. По правилу треугольника сумма AB⃗ + BC⃗ направлена от начала первого вектора A к концу второго C.
3. Вектор с началом A и концом C — это AC⃗. Следовательно, полученное выражение имеет нужные начало и конец.

Ответ: AC⃗ = AB⃗ + BC⃗.

Типичные ошибки

Иногда начало первого вектора соединяют с началом второго и считают этот отрезок суммой. Так происходит, если ориентироваться на соседство слагаемых, а не проследить путь от первой точки до последней. По правилу треугольника соединяют начало первого вектора с концом второго. Проверьте себя: сумма должна завершать последовательный путь, а не связывать две стартовые точки.

При переносе вектора могут случайно изменить его направление или длину, например направить стрелку в обратную сторону. Это случается, когда переносят только отрезок, забывая, что вектор — направленный объект. Разрешён только параллельный перенос с сохранением длины и направления. Сравните стрелки до и после переноса: они должны быть одинаково направлены и равны по длине.

В правиле параллелограмма иногда выбирают не ту диагональ, например проводят её из вершины, противоположной общему началу слагаемых. Причина — стремление взять любую диагональ фигуры, хотя у них разные направления. Суммой является диагональ, выходящая именно из точки, откуда отложены оба вектора. Перед проведением диагонали отметьте общее начало и проверьте, что стрелка направлена к противоположной вершине.

Ещё одна ошибка — считать, что при перестановке векторов меняется сумма. На это может навести изменение порядка сторон при построении, но диагональ из общего начала остаётся той же. Переместительное свойство разрешает переставлять слагаемые: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗. Проверить результат можно, построив оба варианта: концы итоговых диагоналей совпадут.

Связь с другими темами

Для сложения нужно знать, что такое вектор, как обозначают его длину и направление, а также когда два вектора равны. Эти знания позволяют переносить слагаемые и не менять их при построении. Позже сложение пригодится, когда вектор раскладывают по двум направлениям и решают геометрические задачи. В физике теми же правилами находят равнодействующую сил или общий результат нескольких перемещений.

Что запомнить

• Сумма векторов строится по правилу треугольника.
• При сложении сохраняют длину и направление каждого слагаемого.
• Правило параллелограмма применяют, когда слагаемые отложены от одной точки.
• Сумма двух векторов не зависит от порядка слагаемых.
• При сложении трёх векторов можно менять группировку.
• Сумма противоположных векторов — нулевой вектор.