§ 22. Сумма векторов

Определения и обозначения

Сумма двух векторов — вектор, который получают, откладывая второй вектор от конца первого; он соединяет начало первого с концом второго. Например, если сначала пройти по вектору a, а затем по b, сумма a + b покажет всё перемещение сразу. Так можно заменить два последовательных перемещения одним.

Правило треугольника — способ сложения, при котором начало второго вектора совмещают с концом первого, а сумму направляют от начала первого к концу второго. Получившаяся фигура напоминает треугольник: два вектора составляют его стороны, а сумма — третью сторону. Это правило нужно, чтобы наглядно построить результат сложения.

Правило параллелограмма — способ сложения двух векторов с общим началом: сумма изображается диагональю параллелограмма, выходящей из общего начала. Для построения достраивают параллелограмм, используя векторы как стороны. Правило удобно, когда оба вектора уже начинаются в одной точке.

Сумма нескольких векторов — результат их последовательного сложения: каждый следующий вектор откладывают от конца предыдущего. Итоговый вектор соединяет начало первого с концом последнего. Это определение позволяет находить общее перемещение по нескольким шагам.

Как это устроено

Сложение определяют через последовательное откладывание, потому что движение можно выполнять одно за другим. Если сначала перейти из точки A в точку B, а затем из B в C, итоговое перемещение начинается в A и заканчивается в C. Поэтому вектор AC заменяет оба шага и равен их сумме. Такое построение сохраняет и длину общего пути между началом и концом, и его направление.

По правилу треугольника сначала выбирают первый вектор, а затем переносят второй к его концу. Перенос не меняет сам вектор: сохраняются его длина и направление. После этого соединяют начало первого и конец второго, потому что именно эти точки задают начальное и конечное положения всего перемещения. Направление суммы всегда идёт от начала первого к концу второго, а не наоборот.

Правило параллелограмма даёт тот же результат, поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и направлены одинаково. Если векторы a и b выходят из одной точки, сторону, равную b, можно отложить от конца a. Тогда получим последовательное расположение векторов по правилу треугольника. Диагональ от общего начала до противоположной вершины соединит те же начальную и конечную точки, значит, это и есть a + b.

Векторы на чертеже могут находиться в разных местах, но для сложения важны их длина и направление, а не положение. Поэтому один из них можно параллельно перенести, пока его начало не совпадёт с концом другого. Переносить нужно без поворота и растяжения: иначе изменится длина или направление вектора. Так правило треугольника можно применить к любым двум векторам.

Перестановка слагаемых не меняет сумму: a + b = b + a. При построении это видно по диагонали параллелограмма: какая бы сторона ни считалась первым вектором, диагональ из общего начала остаётся той же. Можно также группировать векторы по-разному, например, сначала сложить a и b, а затем прибавить c. Общее перемещение от начала первого вектора до конца последнего при этом не меняется.

Два способа сложения векторов

Сначала посмотрите, как расположены слагаемые на чертеже: от этого зависит, какое построение будет проще. Если их начала уже совпадают, используйте параллелограмм; если векторы стоят друг за другом, применяйте правило треугольника. В обоих случаях сумма должна идти от начальной точки всего построения к конечной.

Разбор задач

Задача 1. Постройте сумму векторов a и b, если конец вектора a совпадает с началом вектора b. Обозначьте вектор-сумму. Здесь векторы уже расположены последовательно, поэтому переставлять или переносить их не нужно. Требуется определить начальную и конечную точки общего перемещения.

1. Обозначим начало вектора a точкой A, общую точку конца a и начала b — точкой B, а конец b — точкой C.
2. Проведём вектор AC: он начинается там же, где a, и заканчивается там же, где b.
3. По правилу треугольника полученный вектор равен сумме двух последовательных перемещений.

Ответ: a + b = AC.

Задача 2. Даны два вектора с общим началом. Постройте их сумму по правилу параллелограмма и обозначьте её. Общее начало позволяет сразу использовать векторы как две стороны фигуры. Нужно выбрать диагональ, соответствующую направлению итогового перемещения.

1. Обозначим общее начало точкой O, а концы векторов a и b — точками A и B.
2. Через A проведём прямую, параллельную OB, а через B — прямую, параллельную OA; их пересечение обозначим C.
3. Получится параллелограмм OACB. Проведём диагональ OC из общего начала слагаемых.

Ответ: a + b = OC.

Задача 3. Вершины A, B, C, D образуют параллелограмм. Выразите вектор AC через векторы AB и AD и обоснуйте равенство. Диагональ AC выходит из той же точки, что и стороны AB и AD. Значит, можно применить правило параллелограмма к этим двум векторам.

1. Рассмотрим векторы AB и AD с общим началом A.
2. Стороны параллелограмма, параллельные AB и AD, позволяют достроить фигуру на этих векторах; её противоположная вершина — C.
3. По правилу параллелограмма диагональ из A к C равна сумме векторов сторон, выходящих из A.

Ответ: AC = AB + AD.

Типичные ошибки

Иногда соединяют начало первого вектора с началом второго и считают полученный отрезок суммой. Так ошибаются, потому что не различают начальную и конечную точки движения. Проверьте построение: сумма должна начинаться там же, где первый вектор, и заканчиваться там же, где второй.

При переносе второго вектора его могут развернуть в другую сторону. Тогда получится уже другой вектор, хотя длина, возможно, останется прежней. Переносите параллельно, не поворачивая стрелку, и сравнивайте её направление с исходным вектором.

В параллелограмме иногда проводят диагональ, которая не выходит из общего начала слагаемых. Причина — внимание сосредоточено на фигуре, а не на векторах. Перед проведением диагонали отметьте точку, из которой начинаются оба слагаемых: сумма идёт из неё к противоположной вершине.

Можно ошибочно решить, что векторы нельзя складывать, если они приложены в разных точках. На самом деле положение на рисунке не мешает сложению, ведь вектор допускает параллельный перенос. Для проверки перенесите один вектор к концу другого, сохраняя длину и направление.

Связь с другими темами

Для работы с суммой нужно уметь изображать вектор и различать его начало и конец. Также важно понимать параллельный перенос: он меняет положение вектора на чертеже, но сохраняет его длину и направление. Эти умения помогают правильно совместить конец одного вектора с началом другого.

Сложение пригодится при изучении координат вектора и действий с векторами. В координатах построение можно будет заменить вычислениями, но смысл суммы останется прежним: результат показывает общее перемещение. Поэтому геометрическое правило помогает понять будущие формулы.

Правило треугольника помогает записывать соотношения между векторами сторон треугольника и многоугольника. Если пройти по нескольким сторонам подряд, сумма соответствующих векторов соединит начало пути с его концом. Это позволяет находить неизвестный вектор через остальные.

Что запомнить

• Сумма векторов — вектор.
• По правилу треугольника второй вектор откладывают от конца первого.
• Сумма направлена от начала первого вектора к концу второго.
• При общем начале слагаемых сумму можно построить диагональю параллелограмма.
• Векторы можно параллельно переносить, сохраняя их длину и направление.
• От перестановки слагаемых сумма не меняется.