§ 23. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Умножить вектор a на число k — значит получить новый вектор, обозначаемый ka. Число k называют множителем: его модуль влияет на длину результата, а знак — на направление. Это действие нужно, чтобы менять вектор по длине и направлению, не задавая его заново.

Произведение ka сонаправлено a, если k положительно, и направлено противоположно a, если k отрицательно. Сонаправленные векторы лежат на параллельных прямых и указывают в одну сторону; противоположно направленные — в разные стороны. Если k = 0, произведение равно нулевому вектору.

Длина произведения равна произведению длины исходного вектора на модуль множителя: |ka| = |k|·|a|. Модуль числа неотрицателен, поэтому длина вектора не может стать отрицательной. Эта формула позволяет узнать длину результата, даже если его направление изменилось.

Как это устроено

Пусть k положительно. Чтобы построить ka, от начала вектора a откладывают на луче его направления вектор длины k|a|. Луч выбирают тот же, потому что положительный множитель не меняет направление. Если k больше единицы, новый вектор длиннее исходного, а если 0 < k < 1 — короче.

При отрицательном k длину результата по-прежнему находят умножением на |k|, но откладывают её в противоположную сторону. Например, множитель −2 означает: длину увеличить в два раза, а направление развернуть. Знак отвечает именно за сторону, поэтому нельзя считать длину отрицательной.

Если k = 0, то |ka| = |0|·|a| = 0, поэтому результатом будет нулевой вектор. Он не имеет длины и направления, как у ненулевого вектора. Это верно при любом исходном a: умножение на ноль всегда даёт нулевой вектор.

У числа k есть две отдельные роли. Его знак определяет, останется ли направление прежним или станет противоположным, а модуль показывает, во сколько раз изменится длина. Например, множители 2 и −2 дают одинаковую длину результата, но противоположные направления.

Умножение распределяется относительно сложения векторов и чисел: k(a+b)=ka+kb и (k+m)a=ka+ma. В первом равенстве каждое слагаемое суммы векторов умножают на k; во втором множители k и m действуют на один и тот же вектор отдельно. Кроме того, k(ma)=(km)a: два последовательных умножения можно заменить умножением на произведение чисел, потому что итоговые длина и направление будут такими же.

Направление и длина произведения ka

Сначала найди знак k, чтобы определить направление, а затем вычисли длину по формуле с модулем. Для положительного множителя модуль можно не писать, потому что |k| = k. При нуле пользуйся отдельной строкой: результатом будет нулевой вектор.

Разбор задач

Задача 1. Дан вектор a длины 3 см. Построить вектор 2a и указать его длину и направление. Множитель 2 положительный, поэтому направление исходного вектора сохраняется. Длину найдём, умножив 3 см на 2.

1. Отметь направление вектора a.
2. На том же направлении отложи от его начала вектор длины 2·3 = 6 см.
3. Сравни направления: оба вектора указывают в одну сторону.

Ответ: 2a имеет длину 6 см и сонаправлен с a. Проверка проста: множитель больше единицы, значит результат вдвое длиннее исходного. Знак положительный, поэтому разворачивать вектор не нужно.

Задача 2. Дан вектор b длины 4 см. Построить вектор −1,5b и определить его длину. Модуль множителя равен 1,5, поэтому длина произведения равна 1,5·4 см. Минус перед числом указывает, что новое направление должно быть противоположно b.

1. Вычисли длину: |−1,5b| = |−1,5|·|b| = 1,5·4 = 6 см.
2. Выбери направление, противоположное направлению b.
3. Отложи в этом направлении вектор длины 6 см.

Ответ: длина −1,5b равна 6 см, вектор противоположно направлен b. При построении сначала учитывай модуль для длины, а затем знак для направления. Так отрицательное число не превращает длину в отрицательную.

Задача 3. Даны векторы a и b. Упростить выражение 3(a+b)−2a и представить ответ в виде суммы векторов. Чтобы раскрыть скобки, умножим на 3 каждое слагаемое внутри них. Затем соберём вместе слагаемые с одинаковым вектором a.

1. Применим распределительное свойство: 3(a+b)−2a = 3a+3b−2a.
2. Представим −2a как слагаемое с противоположным коэффициентом и объединим векторы a: 3a−2a = a.
3. Запишем оставшуюся сумму векторов: a+3b.

Ответ: a+3b. Слагаемое 3b не изменилось, потому что оно не является вектором a. Проверка: после раскрытия скобок коэффициент при a равен 3−2=1, а при b — 3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать длину произведения при отрицательном k отрицательной. Так происходит, когда знак множителя переносят на длину, хотя длина всегда неотрицательна. Проверяй себя формулой |ka|=|k|·|a|: для расчёта длины используй модуль множителя.

Ошибка: при отрицательном множителе оставлять направление неизменным. Иногда учитывают только вычисление длины и забывают, что знак отвечает за направление. Перед построением проверь знак k: при k < 0 вектор должен быть направлен противоположно исходному.

Ошибка: при k = 0 сохранять прежнюю длину или направление. Это случается, если ноль воспринимают как множитель, который ничего не меняет. Подставь k в формулу длины: |0a|=0, значит результат — нулевой вектор.

Ошибка: заменять k(a+b) выражением ka+b. При раскрытии скобок множитель должен подействовать на каждое слагаемое, а не только на первое. Для проверки раскрой сумму по правилу k(a+b)=ka+kb и убедись, что множитель есть у обоих векторов.

Связь с другими темами

Чтобы работать с произведением, нужно знать, что такое длина и направление вектора, а также понимать, какие векторы сонаправлены и противоположно направлены. Ещё пригодится сложение векторов: оно встречается в распределительном свойстве. Умножение на число помогает изучать коллинеарность — расположение векторов на параллельных прямых — и разложение вектора по другим векторам. Эти свойства также упрощают векторные выражения и помогают решать геометрические задачи.

Что запомнить

• Произведение ka — вектор.
• При k > 0 векторы a и ka сонаправлены.
• При k < 0 векторы a и ka противоположно направлены.
• Длина произведения равна |ka| = |k|·|a|.
• При k = 0 произведение — нулевой вектор.
• k(a+b)=ka+kb и (k+m)a=ka+ma.
• k(ma)=(km)a.