"Геометрия. 7-9 класс", Волович М.Б., Атанасян Л.С.
Гомотетия — преобразование, которое увеличивает или уменьшает фигуру относительно выбранного центра. Каждая точка перемещается по лучу, выходящему из центра через неё, а расстояние до её образа зависит от коэффициента гомотетии. Центр остаётся на месте, все длины меняются в одинаковое число раз, а углы сохраняются. Поэтому гомотетия помогает строить подобные фигуры и решать задачи на отношения длин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гомотетия — преобразование плоскости с центром O и коэффициентом k, при котором точке A соответствует точка A′ на луче OA, причём OA′ = k · OA. Иными словами, образ точки лежит в том же направлении от центра, а расстояние до него задаётся коэффициентом. Это правило позволяет единообразно увеличивать или уменьшать фигуры.
Центр гомотетии — неподвижная точка O, относительно которой расположены исходные точки и их образы. Из центра проводят лучи через точки фигуры, чтобы определить, где окажутся их образы. Центр нужен как общая точка отсчёта при построении.
Коэффициент гомотетии — число k, показывающее, во сколько раз расстояния от центра до образов больше соответствующих исходных расстояний. Например, при k = 2 расстояние удваивается, а при k = ½ становится вдвое меньше. По коэффициенту можно понять масштаб изменения фигуры.
Образ фигуры при гомотетии — фигура, составленная из образов всех точек исходной фигуры. Чтобы построить его, находят образы характерных точек, например вершин многоугольника, а затем соединяют их в прежнем порядке. Так можно получить новую фигуру, сохранившую форму исходной.
Чтобы построить образ точки A, сначала проводят луч OA: образ не может оказаться в произвольном направлении, поскольку он должен лежать на этом луче. Затем находят длину OA и умножают её на коэффициент k. На луче откладывают полученное расстояние от O — конец отрезка и есть A′. Например, при OA = 3 см и k = 2 нужно отложить 6 см.
Центр O остаётся на месте, потому что для него исходное расстояние до центра равно нулю. Если применить правило OA′ = k · OA к самой точке O, получится 0 · k = 0. Значит, её образ находится на нулевом расстоянии от O и совпадает с ним. Это объясняет, почему центр служит неподвижной точкой преобразования.
Расстояние между любыми двумя образами равно исходному расстоянию, умноженному на k: если точки A и B перешли в A′ и B′, то A′B′ = k · AB. Дело в том, что точки фигуры перемещаются относительно одного центра в едином масштабе, поэтому каждый отрезок растягивается или сжимается одинаково. Это относится не только к отрезкам от центра, но и к сторонам самой фигуры.
Если прямая не проходит через центр, её образ параллелен ей. Представь две точки на этой прямой и проведи через них лучи из центра: новые точки оказываются на тех же лучах, а расстояния до них увеличиваются в одинаковом отношении. Поэтому направление прямой сохраняется, хотя её положение может измениться. А прямая, проходящая через центр, переходит в себя, поскольку её точки и образы лежат на ней.
Углы при гомотетии сохраняются, а длины изменяются пропорционально. Например, у треугольника все стороны умножаются на одно и то же число, поэтому отношение каждой пары сторон остаётся прежним; форма не искажается. Лучи из центра к вершинам также задают подобные треугольники, и соответствующие углы в них равны. Поэтому образ фигуры подобен исходной: он может быть другого размера, но сохраняет форму.
| Коэффициент k | Положение образа | Изменение расстояний | Что происходит с фигурой |
|---|---|---|---|
| k = 1 | Точка совпадает со своим образом | Не меняются | Фигура остаётся прежней |
| k > 1 | Образ точки лежит дальше от центра на том же луче | Увеличиваются в k раз | Фигура увеличивается |
| 0 < k < 1 | Образ точки лежит между центром и исходной точкой | Уменьшаются в k раз | Фигура уменьшается |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найди значение коэффициента, а затем посмотри, где окажется образ и как изменятся длины. Если k больше 1, расстояния увеличиваются; если k меньше 1, но больше нуля, они уменьшаются. При k = 1 преобразование оставляет фигуру без изменений.
Задача 1. Центр гомотетии O, коэффициент k = 2, OA = 3 см. Найдите OA′ и постройте образ точки A. Сначала определим новое расстояние от центра, а затем укажем, как его отложить. Так мы одновременно получим вычисление и построение.
Ответ: OA′ = 6 см; точка A′ лежит на луче OA на расстоянии 6 см от O. Она находится дальше от центра, чем исходная точка, потому что коэффициент больше 1.
Задача 2. Треугольник ABC преобразован гомотетией с центром O и коэффициентом ½. Его стороны равны 4, 6 и 8 см. Нужно построить образ треугольника и найти его стороны. Поскольку коэффициент меньше 1, каждую вершину следует разместить между центром и исходной точкой, а каждую длину уменьшить вдвое.
Ответ: образ — треугольник A′B′C′ со сторонами 2, 3 и 4 см. Он подобен исходному и уменьшен в два раза.
Задача 3. Два треугольника получены друг из друга гомотетией; соответствующие стороны равны 6 см и 9 см. Найдите коэффициент и постройте образ вершины, расстояние которой от центра равно 4 см. Для коэффициента сравним длину стороны образа с исходной стороной, а затем применим то же отношение к расстоянию от центра. Считаем, что сторона 6 см принадлежит исходному треугольнику, а сторона 9 см — его образу.
Ответ: k = 1,5; расстояние до образа вершины равно 6 см. Если соответствие исходной и образной сторон задано наоборот, коэффициент будет обратным отношением: 6 : 9.
Ошибка — откладывать образ точки не на луче из центра через исходную точку. Так точка может оказаться на нужном расстоянии, но правило гомотетии всё равно будет нарушено. Это часто случается, если следить только за длиной, забыв о направлении. Проверь построение: O, A и A′ должны лежать на одной прямой, а A′ — на луче OA.
Ошибка — менять только расстояние от центра до вершин, но оставлять стороны фигуры прежними. Кажется, что достаточно передвинуть вершины, однако длины всех соответствующих отрезков тоже меняются в k раз. Иначе форма и пропорции образа не соответствуют гомотетии. Для проверки умножь длину любой стороны на коэффициент и сравни её с длиной образа этой стороны.
Ошибка — находить коэффициент как отношение исходного расстояния к расстоянию до образа, хотя требуется OA′ = k · OA. Путаница возникает из-за того, что в задаче могут быть названы обе длины, но не уточнено, какая из них относится к образу. Сначала обозначь исходную величину и величину образа, затем раздели вторую на первую. Проверка: умножение исходной длины на найденный k должно дать длину образа.
Ошибка — считать, что образ любой прямой проходит через центр. Это может показаться верным, потому что лучи, по которым движутся точки, начинаются в центре, но сама прямая может его не пересекать. Прямая через центр переходит в себя, а не проходящая через центр — в параллельную ей. Проверь, лежит ли O на исходной прямой, прежде чем определять положение образа.
Для построений при гомотетии понадобятся знакомые понятия луча и отрезка, умение измерять расстояния и откладывать точки циркулем и линейкой. Гомотетия связана с подобием: соответствующие стороны подобных фигур пропорциональны, а углы равны. Масштабирование помогает строить подобные фигуры и объяснять отношения их длин. Эти идеи пригодятся при изучении подобия треугольников и решении задач на отношения сторон.
Как построить образ точки при гомотетии?
Проведи луч из центра гомотетии через исходную точку. На этом луче отложи расстояние, равное расстоянию до исходной точки, умноженному на коэффициент. Конец отложенного отрезка и будет образом.
Что показывает коэффициент гомотетии?
Он показывает, во сколько раз расстояние от центра до образа больше расстояния от центра до исходной точки. При k > 1 фигура увеличивается, а при 0 < k < 1 — уменьшается. При k = 1 точки и фигура не меняются.
Почему центр гомотетии не перемещается?
Центр находится от самого себя на расстоянии 0. После умножения этого расстояния на коэффициент оно остаётся равным 0, поэтому образ центра совпадает с ним.
Как меняются длины отрезков при гомотетии?
Расстояния между соответствующими точками изменяются в одно и то же число раз — в k раз. Например, если коэффициент равен ½, то каждый отрезок фигуры становится вдвое короче.
Как расположены исходная прямая и её образ, если прямая не проходит через центр?
Такая прямая переходит в параллельную ей прямую. Это происходит потому, что все её точки перемещаются по лучам из центра в одинаковом отношении.
§ 24. Гомотетия
