13.3. Гомотетия

Определения и обозначения

Гомотетия — преобразование плоскости с центром O и коэффициентом k, при котором каждой точке A соответствует точка A′ и вектор OA′ равен k, умноженному на вектор OA. Иными словами, точка движется по прямой через O, а её расстояние от центра меняется в одинаковое для всех точек число раз. Это правило позволяет строить новую фигуру по исходной и сравнивать их размеры.

Центр гомотетии — неподвижная точка O, относительно которой задаётся преобразование. Она остаётся на месте, пока все остальные точки перемещаются по прямым, проходящим через неё. Знать центр нужно, чтобы определить направление и расстояние до образа любой точки.

Коэффициент гомотетии — число k, которое задаёт направление и масштаб преобразования. При k > 0 точки A и A′ лежат на одном луче с началом O, а при k < 0 — на противоположных лучах. Знак помогает выбрать нужную сторону от центра, а модуль числа показывает, во сколько раз меняется расстояние.

Образ точки — точка A′, полученная из A при гомотетии; её расстояние от центра равно |k| · OA. Вертикальные черты вокруг k означают модуль числа, то есть его величину без знака. Это обозначение нужно потому, что расстояние не бывает отрицательным, даже если коэффициент меньше нуля.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A, сначала проводят прямую через O и A: образ должен находиться именно на ней, потому что вектор OA′ кратен вектору OA. Затем на выбранном направлении откладывают расстояние |k| · OA. Для положительного k берут луч OA, а для отрицательного — противоположный луч, поэтому в построении отдельно учитываются модуль и знак коэффициента.

Образ многоугольника строят по его вершинам: находят образы всех вершин, а потом соединяют их в прежнем порядке. Так сохраняется последовательность сторон и углов исходной фигуры. Для окружности удобно отдельно построить образ её центра и определить новый радиус: все точки окружности отстоят от её центра на один и тот же радиус, поэтому после преобразования они образуют окружность с радиусом, увеличенным или уменьшенным в |k| раз.

Прямая, которая не проходит через центр, переходит в параллельную прямую. Чтобы понять причину, возьмём две точки исходной прямой и проведём из O лучи к ним: образы точек находятся на этих лучах, а расстояния от O изменены одним и тем же коэффициентом. Поэтому отрезок между образами имеет то же направление, что и исходный отрезок, либо противоположное при отрицательном коэффициенте. В обоих случаях линии, содержащие эти отрезки, параллельны.

Гомотетия сохраняет углы, а длины соответствующих отрезков умножает на |k|. Две стороны угла переходят в направления, полученные умножением на одно и то же число: если k отрицателен, обе стороны меняют направление одновременно. Поэтому величина угла не меняется, хотя отрезки могут стать длиннее или короче.

Фигура и её образ подобны: у них равны соответствующие углы и пропорциональны соответствующие стороны. Это следует из общего масштаба |k|: каждая длина меняется во столько же раз, а углы остаются прежними. Поэтому гомотетия позволяет получить фигуру той же формы, но другого размера или расположения.

Как коэффициент гомотетии влияет на образ

Сначала проверь знак k: он определяет луч, на котором искать образ. Затем сравни модуль |k| с единицей, чтобы понять, станет расстояние больше или меньше. При |k| = 1 расстояния сохраняются, но при k = −1 образ может оказаться по другую сторону центра.

Разбор задач

При гомотетии с центром O и коэффициентом 2 точка A находится на расстоянии 3 см от O. Найдите расстояние от O до её образа A′.

1. Записываем правило для расстояния: OA′ = |k| · OA.
2. Подставляем данные: |2| · 3 см = 2 · 3 см = 6 см.
3. Проверяем смысл результата: коэффициент по модулю больше единицы, значит, образ дальше от центра, чем A.

Ответ: 6 см.

Постройте образ треугольника ABC при гомотетии с центром O и коэффициентом −½.

1. Через O и каждую вершину A, B, C проводим прямые. Для каждой вершины отмечаем луч, противоположный лучу из O к этой вершине: минус в коэффициенте задаёт именно такое направление.
2. На каждом выбранном луче откладываем половину исходного расстояния: OA′ = ½ OA, OB′ = ½ OB, OC′ = ½ OC. Модуль коэффициента равен ½, поэтому точки образа расположены ближе к O.
3. Соединяем A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины. Получаем треугольник A′B′C′ — образ ABC.

Ответ: вершины образа лежат на противоположных лучах и находятся от O на расстояниях, равных половинам OA, OB и OC.

Отрезок A′B′ — образ отрезка AB при гомотетии. Известно, что AB = 8 см, A′B′ = 12 см, а центр и соответствующие точки расположены на одном луче. Найдите коэффициент гомотетии и объясните, почему прямые AB и A′B′ параллельны, если они не проходят через центр.

1. Отношение длины образа к исходной длине равно модулю коэффициента: |k| = A′B′ / AB = 12 / 8 = 1,5.
2. Так как центр и соответствующие точки расположены на одном луче, коэффициент положительный. Следовательно, k = 1,5.
3. Прямые AB и A′B′ не проходят через центр. При гомотетии такой прямой все точки смещаются по лучам из O в одном масштабе, поэтому образующаяся прямая параллельна исходной.

Ответ: k = 1,5; прямые AB и A′B′ параллельны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что OA′ = k · OA, если k отрицателен. Её допускают, смешивая направленный отрезок с обычным расстоянием: расстояние не может быть отрицательным. Проверка: в формуле для длины до центра используй модуль, OA′ = |k| · OA.

Ошибка: при отрицательном коэффициенте откладывать образ на том же луче. Так бывает, если учитывать только величину числа и забыть о его знаке. Проверь построение по правилу: при k < 0 образ должен находиться на противоположном луче, исходящем из O.

Ошибка: умножать длины на k, а не на |k|. Отрицательная длина невозможна, хотя коэффициент может быть отрицательным. Чтобы проверить себя, сравни отношение длин: длина образа делится на исходную и даёт положительное число |k|.

Ошибка: считать, что любая прямая переходит в параллельную. Это верно только для прямой, не проходящей через центр, и путаница возникает, когда забывают выделить особый случай. Проведи через центр прямую: при гомотетии каждая её точка остаётся на этой же прямой, поэтому сама прямая переходит в себя.

Связь с другими темами

Для построений при гомотетии нужно уметь откладывать отрезок на луче и работать с отношениями длин. Знание параллельных прямых помогает объяснить, как меняется положение прямых и почему возникают пропорциональные отрезки. Подобные треугольники дают удобный способ распознавать фигуры одинаковой формы, но разного размера.

Дальше гомотетия пригодится при изучении подобия фигур и решении задач на пропорциональность отрезков. Она показывает, как единый масштаб связывает стороны исходной фигуры и её образа. Поэтому умение строить образы помогает не только чертить, но и находить неизвестные длины.

Что запомнить

• Гомотетия задаётся центром O и коэффициентом k.
• Для каждой точки A образ A′ лежит на прямой OA.
• Расстояния до центра и длины отрезков умножаются на |k|.
• При k > 0 образ лежит в направлении луча OA, при k < 0 — в противоположном направлении.
• Прямые, не проходящие через центр, переходят в параллельные им прямые.
• Углы при гомотетии сохраняются, а образ фигуры подобен исходной.
• Прямые через центр переходят в себя.