13.2. Виды движений плоскости

Определения и обозначения

Движение плоскости — преобразование, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Это значит, что точки могут перейти в новые положения, но взаимное расположение частей фигуры не исказится. Понятие движения позволяет строго объяснить, почему исходная фигура и её образ равны.

Параллельный перенос — движение, при котором каждая точка смещается на один и тот же вектор. Вектор задаёт направление и длину смещения, поэтому его можно обозначить, например, вектором AB. Такая запись удобна: она сразу сообщает, куда и на какое расстояние перемещать каждую точку.

Поворот — движение вокруг заданной точки на заданный угол. Точка, вокруг которой поворачивают фигуру, называется центром поворота, а угол показывает величину поворота и его направление. Этих данных достаточно, чтобы найти образ любой точки.

Осевая симметрия — движение относительно прямой, называемой осью симметрии. Точка и её образ лежат на одном перпендикуляре к оси и находятся от неё на одинаковом расстоянии по разные стороны. Это правило помогает построить образ точки с помощью перпендикуляра.

Центральная симметрия — движение относительно точки, которая является серединой отрезка, соединяющего точку с её образом. Образ лежит на той же прямой, но по другую сторону от центра и на равном расстоянии от него. Определение даёт простой способ построения: достаточно продолжить отрезок через центр.

Как это устроено

Общий признак любого движения — расстояния между точками остаются прежними. Поэтому, если взять две вершины фигуры, длина соединяющего их отрезка не изменится; это верно не только для сторон, но и для диагоналей. Углы тоже сохраняются: сравним точки угла с их образами, а расстояния между ними — стороны полученных треугольников — не меняются. Равные соответствующие треугольники дают равные углы, значит, фигура не деформируется и равна своему образу.

Параллельный перенос задают направлением и длиной смещения, то есть одним вектором. Если к каждой точке прибавить один и тот же вектор, то отрезок между двумя точками не изменит ни длину, ни направление: одинаковое смещение как бы переносит оба его конца вместе. Поэтому стороны фигуры остаются параллельными исходным сторонам и равными им. При построении важно пользоваться одним вектором для всех точек, а не выбирать смещение отдельно для каждой.

При повороте сначала выбирают центр, а затем угол и направление поворота. Каждая точка движется по окружности с центром в этой заданной точке, поэтому расстояние от неё до центра остаётся постоянным. Чтобы построить образ, проводят отрезок от центра к исходной точке, откладывают от него заданный угол в одном направлении и на новом луче отмечают точку на прежнем расстоянии. Так поворачивают каждую вершину фигуры.

Для осевой симметрии из точки проводят перпендикуляр к оси и продолжают его за ось. На продолжении откладывают такое же расстояние, какое было от исходной точки до оси. Ось пересекает отрезок между точкой и образом под прямым углом и делит его пополам, поэтому является его серединным перпендикуляром. Если выполнить построение так для каждой вершины, все расстояния между вершинами сохранятся.

При центральной симметрии отрезок от точки к её образу проходит через центр, который делит его пополам. Значит, образ находится по другую сторону центра на таком же расстоянии. Если повернуть точку вокруг центра на 180°, она окажется именно в этом положении: направление луча изменится на противоположное, а расстояние до центра сохранится. Поэтому центральная симметрия — частный случай поворота на 180°.

Сравнение основных движений плоскости

Сначала посмотрите, какие данные задают движение, а затем проверьте положение точки и её образа. Последние две строки помогают отличить движения по их свойствам и заметить связь между поворотом и центральной симметрией.

Разбор задач

Перенос на вектор AB

Точка A перемещена параллельным переносом на вектор AB. Построить образы ещё двух точек C и D и указать, что можно сказать об отрезке, соединяющем их образы. Важно не переносить точки по очереди на произвольные расстояния, а применить к каждой заданный вектор. Тогда длина и направление смещения для C и D будут одинаковыми.

1. Из точки C проведите отрезок, равный AB и параллельный ему, в том же направлении. Его конец обозначьте C′.
2. Так же от точки D отложите вектор, равный и сонаправленный с AB; конец обозначьте D′.
3. Соедините C′ и D′. Поскольку C и D сместились на один вектор, отрезок C′D′ параллелен CD и равен ему.

Ответ: образы точек — C′ и D′; отрезок C′D′ равен и параллелен CD. Это следует из сохранения расстояний при переносе, а одинаковое направление смещения сохраняет направление отрезка. Проверить построение можно, сравнив векторы CC′, DD′ и AB: они должны совпадать.

Поворот треугольника на 90°

Дан треугольник и центр O. Требуется построить его образ при повороте на 90°. Для каждой вершины нужно сохранить расстояние до O и повернуть луч, исходящий из O, на один и тот же угол в выбранном направлении. Направление следует выбрать один раз, иначе вершины окажутся повернутыми по-разному.

1. Проведите лучи OA, OB и OC к вершинам треугольника.
2. От каждого луча отложите угол 90° в одном направлении и проведите соответствующий новый луч.
3. На новых лучах отметьте точки A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
4. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины.

Ответ: треугольник A′B′C′ — искомый образ. Равенство расстояний от центра показывает, что каждая вершина повёрнута правильно, а единое направление поворота обеспечивает согласованность построения. Стороны и углы нового треугольника равны соответствующим сторонам и углам исходного.

Осевая симметрия четырёхугольника

Дан четырёхугольник и прямая, не проходящая через его вершины. Нужно построить симметричный ему четырёхугольник и обосновать равенство фигур. Строить следует по вершинам: если правильно найти образы всех четырёх точек, соединение соседних образов даст образ исходной фигуры. Для каждой вершины решающим условием будет перпендикулярность к оси и равное расстояние по обе стороны.

1. Из каждой вершины проведите перпендикуляр к заданной прямой.
2. Измерьте расстояние от вершины до прямой и отложите такое же расстояние на другой стороне. Полученные точки обозначьте A′, B′, C′ и D′.
3. Соедините образы в порядке A′, B′, C′, D′, соответствующем обходу исходного четырёхугольника.
4. Проверьте, что ось перпендикулярна каждому отрезку, соединяющему вершину с её образом, и делит этот отрезок пополам.

Ответ: A′B′C′D′ — осевой симметричный образ ABCD. При таком движении сохраняются расстояния между любыми парами вершин, поэтому равны соответствующие стороны и диагонали; углы также сохраняются. Следовательно, исходный и полученный четырёхугольники равны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что движение сохраняет только длины сторон. Её допускают, потому что стороны легко измерить, и забывают о диагоналях и отрезках между любыми другими точками. Но определение требует сохранения расстояний для каждой пары точек, иначе фигура может изменить форму. Проверка: сравнивайте не только стороны, но и расстояния между выбранными несоседними точками.

Ошибка: перемещать точки при переносе на разные векторы. Так бывает, когда каждую точку строят отдельно и следят лишь за тем, чтобы она куда-то сместилась. При переносе направление и длина смещения должны быть одинаковыми для всех точек. Проверка: отрезки от каждой исходной точки к её образу должны быть равны, параллельны и сонаправлены.

Ошибка: при осевой симметрии откладывать от оси разные расстояния или проводить к образу наклонный отрезок. Это происходит, если воспринимать ось просто как линию, по другую сторону которой нужно поставить точку. На самом деле ось должна быть серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и образом. Проверка: убедитесь, что отрезок образует с осью прямой угол и делится ею пополам.

Ошибка: путать центр поворота с центром центральной симметрии и считать эти движения одинаковыми при любом угле. Их связь состоит в том, что центральная симметрия соответствует повороту ровно на 180°, а не на произвольный угол. Такое смешение возникает из-за общего слова «центр». Проверка: для центральной симметрии образ и исходная точка должны лежать на одной прямой с центром по разные стороны и на равном расстоянии.

Связь с другими темами

Для построений движений нужны знания о перпендикулярных прямых, серединном перпендикуляре, углах и равенстве треугольников. Эти понятия помогают точно отложить образ точки и доказать, что расстояния сохранились. Движения пригодятся при изучении равенства фигур и симметрии геометрических объектов. Они также позволяют строить образы фигур на плоскости и обосновывать, почему их форма и размеры не изменились.

Что запомнить

• Движение плоскости сохраняет расстояния между точками.
• При движении фигура и её образ равны.
• Параллельный перенос задаётся одним вектором для всех точек.
• Поворот задаётся центром и углом.
• При осевой симметрии ось — серединный перпендикуляр к отрезку между точкой и её образом.
• Центральная симметрия — поворот на 180° вокруг центра.