"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Движение плоскости — это преобразование, при котором каждой точке соответствует точка той же плоскости, а расстояния между любыми двумя точками сохраняются. Поэтому отрезки не меняют длину, а фигуры переходят в равные им фигуры. Движения помогают описывать осевую и центральную симметрии, сравнивать фигуры и доказывать их равенство. Чтобы разбираться в теме, нужно понимать, что такое образ точки и фигуры, а также уметь находить неподвижные точки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение плоскости — это преобразование, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие точку той же плоскости и сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Иными словами, после преобразования точки могут оказаться в других местах, но расстояние между любой выбранной парой не изменится. Это условие помогает отличить движение от преобразований, которые растягивают или сжимают фигуры.
Точку, в которую переходит исходная точка при движении, называют её образом. Если точка A переходит в точку A′, записывают A → A′; штрих позволяет не спутать образ с исходной точкой. Такое обозначение нужно, чтобы ясно сопоставлять точки до и после преобразования и записывать, например, равенство расстояний AB = A′B′.
Образом фигуры при движении называют фигуру, составленную из образов всех точек исходной фигуры. Например, чтобы получить образ отрезка, нужно найти образы всех точек, из которых он состоит; его концы переходят в соответствующие точки. Это определение позволяет говорить о преобразовании целой фигуры, а не только отдельных точек.
Неподвижная точка движения — точка, которая переходит сама в себя. Для такой точки образ совпадает с исходной точкой, хотя остальные точки могут перемещаться. Это понятие нужно, чтобы находить места, которые преобразование не меняет: например, при осевой симметрии такими точками являются точки оси.
Движение задаёт соответствие между точками: каждой исходной точке назначается её образ. Но одного соответствия недостаточно, чтобы назвать преобразование движением: необходимо, чтобы расстояния между любыми двумя точками остались прежними. Условие относится ко всем парам, а не только к паре, выбранной для проверки. Поэтому даже если несколько расстояний случайно совпали, это ещё не доказывает, что перед нами движение.
Длина отрезка AB равна расстоянию между его концами A и B. Пусть при движении A переходит в A′, а B — в B′. По основному условию движения расстояние между образами равно расстоянию между исходными точками, то есть A′B′ = AB. Значит, длина каждого отрезка сохраняется не по отдельному правилу, а непосредственно следует из определения.
Если сохраняются расстояния между всеми точками, сохраняются и длины сторон фигуры, и расстояния между её другими точками. Поэтому фигура не становится ни больше, ни меньше и не меняет форму, хотя может переместиться или оказаться перевёрнутой. Отрезок переходит в равный ему отрезок, а окружность — в окружность того же радиуса, то есть в равную окружность. По той же причине любая фигура и её образ равны.
При осевой симметрии точки отражаются относительно прямой, которую называют осью симметрии. Исходная точка и её образ лежат на перпендикуляре к этой прямой, по разные стороны от неё и на одинаковом расстоянии от неё. Ось проходит через середину отрезка, соединяющего точку с образом, поэтому отражение не растягивает расстояния. Точки самой оси остаются на месте.
При центральной симметрии преобразование задаётся точкой O — центром симметрии. Для любой точки P её образ P′ расположен так, что O является серединой отрезка PP′; если P совпадает с O, точка остаётся на месте. Центр симметрии делит отрезок до образа пополам, поэтому точка перемещается на другую сторону центра на такое же расстояние. Это преобразование, как и осевая симметрия, сохраняет расстояния между точками.
| Преобразование | Как определяется образ точки | Что остаётся на месте | Почему сохраняются расстояния |
|---|---|---|---|
| Осевая симметрия | Отражение через ось по перпендикуляру; ось делит отрезок до образа пополам. | Точки оси симметрии. | Перпендикулярные расстояния до оси сохраняются, отражение не меняет расстояния между точками. |
| Центральная симметрия | Центр является серединой отрезка от точки до её образа. | Центр симметрии. | Все точки переходят в противоположные относительно центра положения на равных расстояниях. |
| Параллельный перенос | Каждая точка сдвигается на одно и то же расстояние в одном направлении. | При ненулевом переносе неподвижных точек нет. | Одинаковый сдвиг всех точек сохраняет расстояния между каждой парой. |
| Поворот | Точка перемещается вокруг центра поворота на заданный угол. | Центр поворота. | Поворот сохраняет расстояние каждой точки от центра и угол между направлениями на точки. |
В таблице сравниваются правило построения образа, неподвижные точки и причина сохранения расстояний. При разборе нового примера сначала выясните, как именно задаётся преобразование, а затем проверьте, что происходит с расстояниями. Для переноса без сдвига и поворота на полный оборот неподвижны все точки, поскольку преобразование оставляет плоскость без изменений.
При движении точка A переходит в A′, а точка B — в B′. Если AB = 5 см, найдите A′B′. Нужно связать известную длину исходного отрезка с длиной его образа. Для этого используем определяющее свойство движения, а не пытаемся отдельно строить точки.
Ответ: A′B′ = 5 см. Равенство верно независимо от того, где именно расположены образы точек. Достаточно знать, что преобразование является движением.
Точка P отражена относительно прямой l и переходит в P′. Постройте P′ и объясните, почему PP′ перпендикулярен l и пересекает её в середине PP′. По определению осевой симметрии точка и её образ расположены симметрично относительно оси. Значит, прямая l должна быть серединным перпендикуляром к отрезку PP′.
Ответ: образ строится на перпендикуляре к оси на таком же расстоянии от неё, как точка P. Проверка состоит в том, что PH = HP′ и угол между PP′ и l прямой. Если отложить расстояния не поровну, построенная точка не будет образом при осевой симметрии.
Треугольник ABC при движении переходит в треугольник A′B′C′. Известны AB = 6 см, BC = 4 см и AC = 5 см. Нужно найти стороны образа и установить, почему треугольники равны. Сначала сопоставляем вершины по обозначениям: A переходит в A′, B — в B′, C — в C′.
Ответ: стороны A′B′, B′C′ и A′C′ равны соответственно 6 см, 4 см и 5 см. Движение сохраняет расстояния между каждой парой вершин, поэтому все соответствующие стороны и углы треугольников совпадают. Следовательно, треугольники ABC и A′B′C′ равны.
Ошибка: проверять сохранение расстояния только от одной выбранной точки. Иногда кажется, что достаточно сравнить все точки с одной опорной, но определение требует сохранения расстояний между любой парой точек. Проверьте, какое именно условие дано: для доказательства движения нужно учитывать пары точек, а не только расстояния от одной точки. Совпадение нескольких измерений само по себе не подтверждает, что преобразование сохраняет все расстояния.
Ошибка: путать точку с её образом. Обозначения A и A′ похожи, поэтому можно ошибочно считать, что это одна и та же точка. Но A′ — результат преобразования, и он может находиться в другом месте; совпадение возможно только для неподвижной точки. Проверяйте запись соответствия: если указано A → A′, используйте каждое обозначение на своём месте.
Ошибка: называть движением любое преобразование плоскости. Такое недоразумение возникает, когда преобразование перемещает точки и кажется похожим на поворот или отражение. Однако изменение расстояний, например растяжение, нарушает основное условие движения. Для проверки сравните расстояния между парами исходных точек и между их образами: если они не равны, это не движение.
Ошибка: проводить при осевой симметрии отрезок до оси не перпендикулярно. Тогда точки не окажутся на равных расстояниях от оси в нужном направлении, а ось не разделит отрезок до образа пополам. Ошибку допускают, когда откладывают образ «на глаз», не строя перпендикуляр. Проверьте, что отрезок PP′ перпендикулярен оси, а точка пересечения делит его на два равных отрезка.
Для этой темы понадобятся понятия расстояния между точками, отрезка, его середины и перпендикулярных прямых. Они особенно нужны при построении образа точки относительно оси или центра симметрии. Движение связано с равенством фигур: оно переводит фигуру в равную ей фигуру, потому что сохраняет расстояния. Эти преобразования используют при изучении симметрии, геометрических построениях и доказательствах равенства фигур.
Что называют движением плоскости?
Это преобразование, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие точку той же плоскости. При этом расстояние между образами любых двух точек равно расстоянию между самими точками.
Как обозначают образ точки при движении?
Образ точки A обычно обозначают A′ и записывают соответствие так: A → A′. Штрих показывает, что речь идёт о точке, в которую переходит A.
Почему движение сохраняет длины отрезков?
Длина отрезка AB — это расстояние между его концами. Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками, поэтому A′B′ = AB.
Является ли осевая симметрия движением?
Да. При осевой симметрии точка и её образ находятся на одинаковом расстоянии от оси по разные стороны от неё. Такое отражение сохраняет расстояния между всеми парами точек.
Что называют неподвижной точкой?
Это точка, которая при преобразовании переходит сама в себя. Например, при осевой симметрии неподвижны точки, лежащие на оси.
13.1. Движение плоскости
