13. Преобразования плоскости

Определения и обозначения

Преобразование плоскости — соответствие, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие некоторую точку той же плоскости. Исходную точку называют прообразом, а полученную — образом. Это понятие нужно, чтобы описывать перемещение или изменение положения целых фигур.

Симметрия относительно точки O — преобразование, при котором O остаётся на месте, а точка A переходит в A′ так, что O является серединой отрезка AA′. Значит, точки A, O и A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Такая запись помогает точно построить образ, а не просто расположить его примерно напротив.

Симметрия относительно прямой l — преобразование, при котором точка на l не перемещается, а точка A вне l переходит в точку A′ по другую сторону прямой. Прямая l перпендикулярна AA′ и делит этот отрезок пополам. Поэтому ось l задаёт единственное положение образа точки.

Симметричные точки — точки, которые переходят одна в другую при рассматриваемом преобразовании. Их положение определяется центром симметрии или её осью. Зная этот центр либо ось, можно построить образ любой точки и всей фигуры.

Как это устроено

Преобразование удобно понимать как правило перемещения точек: каждой исходной точке соответствует свой образ. Фигура состоит из множества точек, поэтому после преобразования она переходит в фигуру из образов всех этих точек. Такой подход позволяет изучать не отдельное перемещение, а результат для отрезка, треугольника или многоугольника.

При симметрии относительно точки центр лежит на отрезке, соединяющем точку и её образ, и делит его пополам. Это следует из самого правила: образ должен находиться на таком же расстоянии от центра, но в противоположном направлении. Если исходная точка совпадает с центром, менять направление и расстояние невозможно, поэтому она остаётся неподвижной.

При симметрии относительно прямой отрезок AA′ должен пересекать ось под прямым углом. Равные расстояния от A и A′ до оси означают, что любая точка оси является равноудалённой от них только на серединном перпендикуляре. Поэтому ось симметрии одновременно перпендикулярна AA′ и проходит через его середину.

Обе симметрии сохраняют расстояния между соответствующими точками: при отражении или повороте на 180° длина соединяющего отрезка не меняется. Из равенства соответствующих отрезков следуют равенство сторон и углов фигур. Поэтому симметричный образ имеет ту же форму и размеры, хотя его положение или направление могут измениться.

Чтобы построить образ фигуры, достаточно выбрать её характерные точки, обычно вершины многоугольника. Сначала строят образ каждой вершины по правилу выбранной симметрии, потому что положение всей фигуры определяется этими точками. Затем образы соединяют в том же порядке, что и исходные вершины, сохраняя стороны фигуры.

Сравнение симметрии относительно точки и прямой

Таблица помогает быстро выбрать нужное построение. Сначала найдите строку о расположении точки и образа, затем проверьте, какие точки остаются неподвижными и какие свойства сохраняются. Для построения особенно важны середина отрезка и перпендикуляр.

Разбор задач

Построить точку A′, симметричную данной точке A относительно точки O

Нужно получить точку, для которой O будет серединой отрезка AA′. Значит, образ должен находиться на прямой AO, но по другую сторону от O. Остаётся отложить от центра такое же расстояние, какое было до исходной точки.

1. Проведите прямую через точки A и O.
2. Продолжите её за точку O в сторону, противоположную A.
3. Циркулем отложите на продолжении отрезок OA′, равный OA.
4. Обозначьте полученную точку через A′ и проверьте, что O лежит между A и A′.

Ответ: точка A′ построена так, что A, O, A′ лежат на одной прямой, а OA = OA′. Следовательно, O — середина AA′, и точки симметричны относительно O.

Построить образ треугольника при симметрии относительно заданной прямой l

Пусть вершины треугольника — A, B и C. Каждая вершина должна перейти на другую сторону оси на такое же расстояние, поэтому для каждой из них выполняется отдельное построение. После этого новые точки соединяют так же, как были соединены исходные вершины.

1. Из точки A проведите перпендикуляр к l и обозначьте его основание через H.
2. На продолжении перпендикуляра за l отметьте A′ так, чтобы HA′ = HA.
3. Аналогично постройте B′ и C′ для вершин B и C.
4. Соедините A′, B′ и C′ отрезками в порядке A′B′, B′C′, C′A′.

Ответ: треугольник A′B′C′ является образом исходного. Для каждой пары соответствующих точек ось l служит серединным перпендикуляром, поэтому построение выполнено правильно.

Определить, какой фигурой станет прямоугольник при симметрии относительно точки

Обозначим вершины прямоугольника ABCD и построим их образы A′, B′, C′, D′ относительно центра O. Нужно установить не только положение образа, но и его вид. Для этого достаточно сравнить соответствующие стороны и углы.

1. Постройте образы всех четырёх вершин, используя равенства OA = OA′, OB = OB′ и так далее.
2. Соедините точки A′, B′, C′, D′ в соответствующем порядке.
3. Используйте сохранение расстояний: стороны образа равны соответствующим сторонам исходного прямоугольника.
4. Используйте сохранение углов: каждый угол образа прямой, то есть равен 90°.

Ответ: образом будет прямоугольник, равный исходному. Его стороны и углы сохранятся, хотя фигура окажется расположенной относительно центра симметрии иначе.

Типичные ошибки

При симметрии относительно точки центр иногда располагают лишь приблизительно посередине между точкой и образом. Ошибка возникает из-за проверки «на глаз», без измерения отрезков. Проверьте, что A, O и A′ лежат на одной прямой и OA = OA′.

При симметрии относительно прямой образ откладывают не по перпендикуляру к оси. Так происходит, если ориентируются только на положение по другую сторону прямой. Проведите перпендикуляр и убедитесь, что ось проходит через середину AA′.

Иногда считают, что при отражении перемещаются и точки оси. Это путает ось симметрии с обычной границей фигуры. Возьмите любую точку на l: её образ должен совпасть с ней самой.

Образ многоугольника строят по одной вершине, а остальные соединяют приблизительно. Такой способ не определяет положение всей фигуры и может изменить её форму. Постройте образ каждой вершины, а затем соедините точки в прежнем порядке.

Связь с другими темами

До изучения преобразований нужно уметь проводить перпендикуляр к прямой, находить середину отрезка и откладывать равные отрезки. Эти построения прямо используются при создании образа точки. Без них нельзя точно проверить свойства симметрии.

Симметрия пригодится при изучении равенства геометрических фигур, потому что она сохраняет расстояния и углы. Она также помогает находить оси и центры симметрии у различных фигур. Позже эти идеи будут использоваться при исследовании свойств геометрических объектов.

Что запомнить

• Преобразование сопоставляет точкам плоскости их образы.
• При симметрии относительно точки центр — середина отрезка, соединяющего точку с образом.
• При симметрии относительно прямой ось — серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точку с образом.
• Точки центра или оси симметрии остаются на месте.
• Обе симметрии сохраняют расстояния и углы.
• Образ многоугольника строят по образам всех его вершин.