"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Гомотетия — преобразование плоскости, которое растягивает или сжимает фигуру относительно центра O. Её задают центром и коэффициентом k: соответствующие точки лежат на одной прямой с центром, а расстояния от центра изменяются в |k| раз. Знак k определяет расположение образа, длины умножаются на |k|, площади — на k². Гомотетия помогает изучать подобные фигуры, отношения отрезков и площадей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Гомотетия — преобразование плоскости с центром O и коэффициентом k, при котором каждой точке A сопоставляется точка A′ на прямой OA. Иными словами, точка перемещается вдоль линии, соединяющей её с центром. Это позволяет описывать единым правилом растяжение, сжатие и переворот фигуры.
Центр гомотетии — неподвижная точка O, через которую проходят прямые, соединяющие соответствующие точки фигуры и её образа. Неподвижной она называется потому, что сама переходит в себя. Центр нужен, чтобы определить общее направление перемещения всех точек.
Коэффициент гомотетии — число k, задающее направление и изменение расстояния: направленный отрезок OA′ в k раз больше направленного отрезка OA. Модуль |k| показывает масштаб, а знак указывает, на каком луче окажется образ. Поэтому отрицательное значение нельзя заменять обычным расстоянием.
Гомотетичные фигуры — фигура и её образ при гомотетии. Их соответствующие отрезки параллельны, а длины относятся как |k|. Такое преобразование сохраняет форму фигуры, но может изменить её размер и положение.
Чтобы построить образ точки A по центру O и коэффициенту k, сначала проводят прямую OA. Затем откладывают от центра расстояние |k|·OA: при положительном k — в направлении луча OA, при отрицательном — на противоположном луче. Так положение A′ определяется и расстоянием, и знаком коэффициента.
При k > 0 точки A и A′ находятся на одном луче из центра, потому что направленный отрезок не меняет своего направления. При k < 0 знак меняется, поэтому точка переносится через центр на противоположный луч. Например, при k = −2 расстояние увеличится в два раза, но направление станет обратным.
Центр O остаётся неподвижным: для него расстояние до самого себя равно нулю, и умножение нуля на k снова даёт ноль. Если k = 1, каждая точка получает прежние координаты и положение. Поэтому такое преобразование называют тождественным.
Пусть прямая не проходит через O. Все её точки перемещаются по лучам, выходящим из центра, с одним и тем же коэффициентом, поэтому направление самой прямой не изменяется. Её образ не совпадает с исходной прямой и оказывается параллельным ей. Если же прямая проходит через O, каждая её точка остаётся на этой же прямой, поэтому она переходит в себя.
Рассмотрим два соответствующих отрезка. Их концы перемещаются одинаковым масштабом, поэтому длина образа равна |k| умножить на исходную длину, а углы между соответствующими направлениями сохраняются. Значит, исходная фигура и образ подобны, а площадь, зависящая от двух измерений, изменяется в |k|² = k² раз.
Таблица показывает, что происходит с основными объектами при гомотетии. В последнем столбце указаны условия, которые помогают быстро выбрать нужную формулу или заметить особый случай.
| Объект или свойство | Результат гомотетии | Особый случай или формула |
|---|---|---|
| Центр гомотетии | Остаётся неподвижным | O′ = O |
| Точка A | Переходит в точку A′ на прямой OA | OA′ = |k|·OA |
| Направление расположения A и A′ | Определяется знаком коэффициента | При k > 0 — один луч, при k < 0 — противоположные лучи |
| Прямая через центр | Переходит в себя | Центр принадлежит прямой |
| Прямая, не проходящая через центр | Переходит в параллельную прямую | Параллельность исходной и образа |
| Отрезок | Переходит в параллельный отрезок | Длина умножается на |k| |
| Угол | Сохраняет величину | Фигуры подобны |
| Площадь фигуры | Умножается на k² | S′ = k²S |
| k = 1 | Каждая точка остаётся на месте | Тождественное преобразование |
| k = −1 | Точки симметричны относительно центра | Центральная симметрия |
Если нужно найти новую длину, используйте множитель |k|, а для площади — k². При анализе прямой сначала проверьте, проходит ли она через центр.
При гомотетии с центром O(0; 0) и коэффициентом k = −2 точка A(1; −3) переходит в A′. Требуется найти координаты образа. Так как центр совпадает с началом координат, координаты точки достаточно умножить на коэффициент.
Ответ: A′(−2; 6).
Стороны треугольника ABC равны 4 см, 5 см и 6 см, коэффициент гомотетии равен 3, а площадь исходного треугольника — 8 см². Нужно найти стороны и площадь треугольника A′B′C′. Положительный знак здесь означает сохранение направления, но на вычисление длин влияет только |k|.
Ответ: стороны равны 12 см, 15 см и 18 см; площадь равна 72 см². Форма треугольника сохранилась, поэтому углы остались прежними.
Даны окружности радиусов 3 см и 7,5 см, с центрами O и O′, причём центры не совпадают. Так как окружность при гомотетии переходит в окружность, модуль коэффициента равен отношению соответствующих радиусов. Положение центра гомотетии определяется на прямой OO′ с учётом знака коэффициента.
Ответ: возможны коэффициенты 2,5 и −2,5, если переход рассматривается от окружности радиуса 3 см к окружности радиуса 7,5 см. При обратном переходе коэффициенты будут 0,4 и −0,4.
Считать, что при k < 0 образ точки лежит на том же луче. Так ошибаются, если смотрят только на модуль числа и забывают о его знаке. Проверьте себя: при отрицательном коэффициенте лучи от центра должны быть противоположными.
Умножать длину на k, не учитывая знак. Длина не может быть отрицательной, поэтому для неё используют |k|, а знак оставляют для направленных отрезков. Если результат длины отрицателен, вычисление нужно исправить.
Умножать площадь на |k| вместо k². Такая ошибка появляется из-за переноса правила для одной длины на двумерную величину. Проверьте два независимых размера: каждый умножается на |k|, значит площадь — на |k|² = k².
Утверждать, что любая прямая переходит в параллельную. Это неверно для прямой, проходящей через центр: она переходит в себя. Перед применением свойства сначала проверьте, принадлежит ли центр данной прямой.
Для гомотетии нужны отношения отрезков, направленные отрезки, параллельность прямых и признаки подобия фигур. Центральная симметрия является частным случаем гомотетии при k = −1. Знание гомотетии пригодится при изучении подобных треугольников, геометрических построений, отношений площадей и других преобразований фигур.
Почему коэффициент гомотетии может быть отрицательным?
Знак коэффициента показывает направление от центра к образу. При k < 0 образ точки находится на противоположном луче, поэтому отрицательный коэффициент описывает не только изменение размера, но и переход через центр.
Чем гомотетия отличается от подобия?
Гомотетия — конкретное преобразование с центром: она задаёт положение каждой образующейся точки. Подобие — более общее понятие о фигурах, у которых равны соответствующие углы, а стороны пропорциональны.
Всегда ли прямая при гомотетии переходит в параллельную прямую?
Нет. Прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую. Прямая через центр гомотетии переходит в себя.
Как найти коэффициент гомотетии по двум соответствующим отрезкам?
По длинам соответствующих отрезков находят модуль коэффициента: |k| = A′B′ : AB. Знак определяют по расположению соответствующих точек относительно центра: одинаковые направления дают положительный знак, противоположные — отрицательный.
Почему площадь изменяется в k² раз, а не в |k| раз?
Площадь зависит от двух линейных размеров. Каждый из них увеличивается в |k| раз, поэтому множители перемножаются: |k| · |k| = k².
10.2. Гомотетия
