10.1. Преобразование подобия и его простейшие свойства

Определения и обозначения

Преобразование подобия — преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками умножается на одно и то же положительное число. Иными словами, вся фигура изменяется по единому масштабу. Это определение позволяет сравнивать фигуры, даже если одна из них больше или меньше другой.

Коэффициент подобия — число k, на которое преобразование подобия умножает расстояния между точками. Например, при k = 3 каждый отрезок становится в три раза длиннее, а при k = ½ — в два раза короче. По значению k можно определить, увеличилась фигура или уменьшилась.

Подобные фигуры — фигуры, одна из которых получается из другой преобразованием подобия. У них могут различаться размеры и положение на плоскости, но сохраняются форма и величины углов. Понятие помогает устанавливать соответствие между элементами фигур и находить неизвестные длины.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при преобразовании; её обозначают, например, A′. Пара исходной точки и её образа показывает, как задано соответствие между фигурами. Поэтому вершине A одной фигуры соответствует вершина A′ другой.

Как это устроено

Любое преобразование задаёт соответствие между точками плоскости: каждой исходной точке ставится в соответствие её образ. Для подобия этого недостаточно: расстояния между образами должны изменяться одинаково для всех пар исходных точек. Благодаря единому масштабу разные части фигуры не растягиваются по-разному и сохраняют согласованную форму.

Условие подобия записывают так: A′B′ = k · AB для любых точек A и B и их образов A′ и B′. Число k не зависит от выбранной пары, потому что преобразование использует один масштаб для всей плоскости. Если бы для разных отрезков получались разные множители, одной фигуры подобия не возникло бы.

Из формулы следует, что длина любого отрезка меняется в k раз. Если два отрезка имеют длины a и b, то после преобразования они станут ka и kb, а их отношение не изменится: ka : kb = a : b. Поэтому по известному масштабу можно находить новые длины и проверять соответствие фигур.

Величины углов сохраняются, потому что все стороны, образующие угол, изменяются одним и тем же множителем. Их длины меняются, но взаимное направление лучей остаётся прежним. Значит, преобразование может изменить размер фигуры, однако не меняет её форму.

При k = 1 каждое расстояние умножается на единицу и остаётся прежним, поэтому такое преобразование является движением. При k > 1 фигура увеличивается, а при 0 < k < 1 уменьшается. Отрицательный коэффициент не рассматривают, поскольку коэффициент подобия по определению положителен.

Что происходит с основными элементами при преобразовании подобия

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, что именно изменяется: отдельная длина, отношение или угол. Для длины и радиуса умножайте исходное значение на k, а для угла и отношения соответствующих длин сохраняйте прежнее значение. Так можно быстро выбрать нужное свойство в задаче.

Разбор задач

Задача 1

При преобразовании подобия с коэффициентом 3 отрезок AB длиной 4 см переходит в отрезок A′B′. Требуется найти длину образа. Поскольку коэффициент показывает множитель для любой длины, нужно применить одну и ту же формулу к этому отрезку.

1. Записываем правило: A′B′ = k · AB.
2. Подставляем данные: A′B′ = 3 · 4 = 12 см.
3. Полученное число имеет единицу длины, поэтому ответ записываем в сантиметрах.

Ответ: A′B′ = 12 см.

Задача 2

Отрезок длиной 15 см перешёл в отрезок длиной 6 см. Нужно найти коэффициент подобия и понять, увеличилась фигура или уменьшилась. Коэффициент вычисляют как отношение длины образа к длине исходного отрезка.

1. Записываем формулу: k = A′B′ : AB.
2. Подставляем длины: k = 6 : 15 = 0,4.
3. Сравниваем результат с единицей: 0,4 меньше 1, значит, длины уменьшились.

Ответ: k = 0,4; произошло уменьшение.

Задача 3

Треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см перешёл в треугольник с периметром 36 см. Периметр исходного треугольника равен 3 + 4 + 5 = 12 см. Так как все стороны умножаются на один коэффициент, во столько же раз изменяется и периметр.

1. Находим коэффициент: k = 36 : 12 = 3.
2. Умножаем стороны на 3: 3 · 3 = 9 см, 4 · 3 = 12 см, 5 · 3 = 15 см.
3. Величины углов не изменились, потому что преобразование подобия сохраняет углы.

Ответ: k = 3; стороны образа равны 9 см, 12 см и 15 см; углы сохранились.

Типичные ошибки

Ошибка — считать коэффициентом отношение исходной длины к длине образа. Так делают, когда мыслят в обратную сторону от образа к исходной фигуре. Проверка проста: используйте формулу «образ = k · исходное», значит, k = образ : исходное.

Ошибка — думать, что подобие обязательно увеличивает фигуру. Такое представление возникает из-за примеров с коэффициентом больше единицы. Проверьте k: при 0 < k < 1 происходит уменьшение, а при k = 1 размер не меняется.

Ошибка — утверждать, что при подобии сохраняются сами длины. На самом деле длины умножаются на k, а неизменными остаются отношения соответствующих длин. Для самопроверки сравните исходный и образовавшийся отрезки: при k ≠ 1 они различны.

Ошибка — путать сохранение формы с сохранением положения фигуры. Фигура может переместиться, повернуться, увеличиться или уменьшиться, хотя её углы останутся прежними. Проверьте отдельно размер, положение и форму: это разные характеристики.

Связь с другими темами

До изучения преобразования подобия нужно знать, что такое преобразование плоскости, расстояние между точками, отрезок и величина угла. Эти понятия нужны, чтобы правильно читать формулу A′B′ = k · AB и понимать, какие элементы сравниваются.

Понятие подобия используется при изучении подобных треугольников. Оно помогает составлять отношения соответствующих сторон и находить неизвестные длины по известному масштабу.

Преобразования подобия связаны с движениями и изменениями масштаба. Движение является частным случаем подобия при k = 1, а при других значениях k фигура сохраняет форму, но меняет размер.

Что запомнить

• Коэффициент подобия k положителен и одинаков для всех пар точек.
• Расстояние между образами равно исходному расстоянию, умноженному на k.
• Длины отрезков умножаются на k.
• Отношения соответствующих длин сохраняются.
• Величины углов при преобразовании подобия не меняются.
• При k = 1 преобразование сохраняет расстояния.