§ 10. Подобие

Определения и обозначения

Подобными фигурами называют фигуры, у которых равны соответствующие углы, а соответствующие отрезки пропорциональны. Пропорциональность означает, что отношения длин каждой пары соответствующих отрезков одинаковы. Это определение позволяет отличить совпадение формы от совпадения размеров.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих отрезков одной фигуры к другой. Если сравниваем длину второй фигуры с длиной первой, то k = длина второй / длина первой. При обратном порядке коэффициент станет обратным, поэтому при записи отношения нужно указывать, какую фигуру сравнивают с какой.

Подобными треугольниками называют треугольники, у которых равны соответствующие углы и пропорциональны соответствующие стороны. Например, запись △ABC ∼ △A₁B₁C₁ указывает соответствие A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁. Такое определение помогает не перепутать стороны, когда составляем пропорцию.

Соответствие вершин задаёт, какие именно элементы фигур сравниваются: угол при A — с углом при A₁, а сторона AB — со стороной A₁B₁. В треугольниках порядок букв в записи подобия обычно и показывает это соответствие. Если порядок неясен, его нужно восстановить по условию или по равным углам, прежде чем выполнять вычисления.

Как это устроено

При подобии форма фигуры сохраняется, потому что величины её углов не меняются. Размеры могут изменяться: все соответствующие длины умножаются на одно и то же число, поэтому фигура равномерно увеличивается или уменьшается. Если стороны изменялись бы в разное число раз, очертание фигуры стало бы другим.

У подобных треугольников отношения соответствующих сторон одинаковы: AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁, если в каждом отношении первой стоит сторона одного и того же треугольника. Равенство углов обеспечивает одинаковую форму, а пропорциональность сторон выражает это соответствие через длины. Поэтому коэффициент подобия можно найти по любой паре соответствующих сторон.

Первый признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны. Третья пара углов тоже равна, поскольку сумма углов каждого треугольника составляет 180°. Второй признак: если две стороны пропорциональны и равны углы между ними, треугольники подобны; равный угол сохраняет форму между этими сторонами. Третий признак: если пропорциональны все три пары соответствующих сторон, треугольники подобны, потому что их размеры отличаются одним множителем, а форма определяется сторонами.

Чтобы найти неизвестную сторону, сначала устанавливают соответствие вершин, затем составляют отношение соответствующих длин и подставляют коэффициент. Например, если сторона первой фигуры равна 8, а коэффициент второй к первой равен 1,5, соответствующая сторона второй равна 8 · 1,5 = 12. Порядок букв в записи △ABC ∼ △A₁B₁C₁ задаёт пары вершин и тем самым пары сторон.

Периметр — сумма длин сторон, поэтому при умножении каждой стороны на k их сумма тоже умножается на k. Площадь при увеличении сторон в k раз меняется сильнее: основание и соответствующая высота увеличиваются в k раз каждая. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, отношение площадей подобных фигур равно k².

Признаки подобия треугольников

Выбери в условии те данные, которые совпадают с одной строкой таблицы, и проверь соответствие элементов. Для второго и третьего признаков важно сравнивать стороны в одинаковом порядке. Если условие полностью соответствует хотя бы одному признаку, можно сделать вывод о подобии.

Разбор задач

Задача 1. У треугольников два угла равны: 42° и 71°. Нужно определить, подобны ли треугольники. В условии заданы две пары соответствующих равных углов, поэтому подходит первый признак подобия.

1. Сопоставим угол 42° одного треугольника с углом 42° другого, а угол 71° — с углом 71°.
2. По признаку подобия по двум углам заключаем, что треугольники подобны.

Ответ: треугольники подобны.

Задача 2. Стороны первого треугольника равны 4, 6 и 8, второго — 6, 9 и 12. Проверим подобие и найдём коэффициент подобия второго треугольника к первому. Сопоставим стороны по возрастанию: 4 с 6, 6 с 9, 8 с 12; такое соответствие согласует все три стороны.

1. Проверим отношения сторон второго треугольника к сторонам первого: 6/4 = 1,5; 9/6 = 1,5; 12/8 = 1,5.
2. Все три отношения равны, значит, стороны пропорциональны и выполнен третий признак подобия.
3. Так как требуется коэффициент второго треугольника к первому, делим длины второго на длины первого: k = 1,5.

Ответ: треугольники подобны, коэффициент второго к первому равен 1,5.

Задача 3. △ABC ∼ △A₁B₁C₁, соответствуют A и A₁, B и B₁, C и C₁. Даны AB = 8, BC = 10, AC = 6, A₁B₁ = 12; нужно найти B₁C₁, A₁C₁ и отношение площадей. Порядок записи показывает, что AB соответствует A₁B₁, BC — B₁C₁, а AC — A₁C₁.

1. Найдём коэффициент второго треугольника к первому: k = A₁B₁/AB = 12/8 = 1,5.
2. Умножим соответствующие стороны первого треугольника на k: B₁C₁ = 10 · 1,5 = 15, A₁C₁ = 6 · 1,5 = 9.
3. Отношение площадей второго треугольника к первому равно k² = 1,5² = 2,25.

Ответ: B₁C₁ = 15, A₁C₁ = 9, S(A₁B₁C₁)/S(ABC) = 2,25.

Типичные ошибки

Сравнивать стороны, не установив соответствие вершин, — значит рисковать составить неверную пропорцию. Так происходит, когда стороны подбирают только по длине или записывают пары наугад. Сначала прочитай порядок вершин в записи подобия или найди равные углы, а затем сопоставляй стороны.

Одного совпадения недостаточно: равенство только одной пары углов или сторон не доказывает подобие треугольников. Его иногда принимают за достаточное, потому что фигуры кажутся похожими или одно из измерений совпало. Проверь, есть ли данные для одного из трёх признаков, и не делай вывод по единственному равному элементу.

Коэффициент подобия переворачивают, если забывают, какую фигуру считают первой. Например, 12/8 и 8/12 отвечают на разные вопросы, хотя используют одну пару сторон. Перед вычислением подпиши отношение словами или укажи порядок в записи, а затем проверь, должен ли коэффициент быть больше или меньше единицы.

Нельзя относить площади подобных фигур как k: коэффициент k относится к длинам, а площадь зависит от двух измерений. Ошибку помогает заметить проверка размерности: при увеличении сторон в два раза площадь становится в четыре раза больше. Для отношений площадей всегда используй квадрат коэффициента, а для периметров — сам коэффициент.

Связь с другими темами

Для изучения подобия нужны свойства углов треугольника, в том числе правило о сумме его углов, и признаки равенства треугольников. Знание пропорций помогает записывать отношения соответствующих сторон и находить неизвестные величины. Эти понятия позволяют обосновывать вычисления, а не только подставлять числа.

Подобие используют, чтобы вычислять расстояния, которые трудно измерить напрямую, например ширину реки или высоту объекта. Оно также помогает решать задачи на пропорциональные отрезки и служит опорой при изучении тригонометрии. В практической задаче достаточно построить подобные треугольники и измерить доступные стороны.

Что запомнить

• У подобных фигур равны соответствующие углы.
• Соответствующие стороны подобных фигур пропорциональны.
• Треугольники подобны, если выполняется хотя бы один из трёх признаков подобия.
• Коэффициент подобия показывает, во сколько раз изменяются соответствующие длины.
• Периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия.
• Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.