"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Подобные фигуры имеют одинаковую форму, хотя их размеры могут различаться: соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Это позволяет сравнивать фигуры и находить неизвестные длины, не измеряя их напрямую. Для треугольников достаточно проверить один из трёх признаков подобия. Чтобы правильно применять их, нужно установить соответствие вершин, а затем сохранять один порядок сравнения сторон во всех пропорциях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные фигуры — фигуры одинаковой формы, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Например, одну фигуру можно получить из другой увеличением или уменьшением без изменения её формы. Это понятие нужно, чтобы сравнивать фигуры разных размеров и находить неизвестные длины.
Подобные треугольники — треугольники с равными соответствующими углами и пропорциональными соответствующими сторонами. Соответствующими называют вершины, углы и стороны, которые занимают одинаковое положение в этих треугольниках. Запись △ABC ∼ △DEF показывает, что A соответствует D, B — E, C — F; она помогает не перепутать стороны при вычислениях.
Коэффициент подобия — отношение соответствующих сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого, взятых в одинаковом порядке. Если △ABC ∼ △DEF, то, например, k = AB/DE = BC/EF = AC/DF. Коэффициент показывает, во сколько раз длины первого треугольника больше или меньше длин второго.
Признак подобия — условие, по которому можно доказать подобие треугольников, не проверяя отдельно все равенства углов и пропорции сторон. Достаточно установить один из специальных наборов условий. Это экономит время и помогает выбрать самый удобный путь решения.
Представь, что треугольник увеличили так, что каждая его сторона стала вдвое длиннее. Углы остались прежними, потому что изменились длины, но не направления сторон. Все новые стороны получены умножением старых на одно и то же число, поэтому форма сохранилась. Если же стороны увеличивать в разных отношениях, форма может измениться.
В записи подобия порядок вершин задаёт точное соответствие: в △ABC ∼ △DEF вершина A сопоставлена с D, B — с E, C — с F. Поэтому углу A соответствует угол D, а стороне AB — сторона DE. Если переставить буквы, не проверив соответствие, можно сравнить не те стороны и получить неверную пропорцию. Перед вычислениями полезно выписать пары вершин и сторон.
Пусть соответствующие стороны первого треугольника вдвое больше сторон второго. Тогда отношения сторон первого к сторонам второго равны 2, то есть коэффициент подобия k = 2. Если стороны первого вдвое меньше, то при том же порядке сравнения k = ½. В обоих случаях для всех пар соответствующих сторон получается одно и то же отношение, поэтому можно использовать любую известную пару, чтобы найти неизвестную.
По двум равным соответствующим углам треугольники подобны: третьи углы тоже равны, ведь сумма углов каждого треугольника равна 180°. Второй признак работает, когда две пары сторон пропорциональны, а углы между этими сторонами равны: такая пара сторон и угол задают одинаковую форму треугольников. По третьему признаку достаточно пропорциональности всех трёх пар сторон. Каждый признак позволяет установить подобие, не проверяя все условия по очереди.
Подобие превращает задачу о неизвестной длине в задачу о пропорции. Сначала по углам или условию определяют, какие стороны соответствуют друг другу, затем записывают отношения в одном порядке. Если известны три стороны одного треугольника и соответствующие стороны подобного ему, можно найти общий коэффициент. Для неизвестной стороны составляют равенство отношений и решают его как обычное уравнение.
| Что известно | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| Два угла | Равны две пары соответствующих углов | Треугольники подобны |
| Две стороны и угол между ними | Две пары соответствующих сторон пропорциональны, а углы между ними равны | Треугольники подобны |
| Три стороны | Пропорциональны все три пары соответствующих сторон | Треугольники подобны |
Сначала найди в условии известные углы или стороны и проверь, совпадают ли они с одной строкой таблицы. Для второго признака угол должен быть именно между сравниваемыми сторонами. Если условия выполнены, можно сразу сделать вывод о подобии и использовать пропорциональность остальных сторон.
Задача 1. У треугольников равны две пары соответствующих углов. Определим, подобны ли они, и укажем соответствие вершин. Пусть ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, тогда оставшиеся вершины соответствуют друг другу: C и F. Условие признака по двум углам выполнено.
Ответ: треугольники подобны, соответствие вершин — A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Запись подобия должна сохранять этот порядок букв. Тогда соответствующими сторонами будут AB и DE, BC и EF, AC и DF.
Задача 2. Стороны одного треугольника равны 3, 4 и 5, а соответствующие стороны другого — 6, 8 и 10. Найдём коэффициент подобия второго треугольника относительно первого. Сначала проверим, одинаково ли относятся друг к другу все три пары сторон, иначе общий коэффициент определить нельзя.
Ответ: коэффициент подобия второго треугольника относительно первого равен 2. Это значит, что каждая его сторона вдвое больше соответствующей стороны первого. Если бы сравнивали первый треугольник со вторым, коэффициент был бы ½.
Задача 3. Два треугольника подобны; стороне 5 см первого соответствует сторона 8 см второго, а другая сторона первого равна 7 см. Найдём соответствующую ей сторону второго. Будем сравнивать второй треугольник с первым, чтобы коэффициент увеличения получился больше 1.
Ответ: соответствующая сторона второго треугольника равна 11,2 см. Проверка: отношение найденной стороны к стороне первого равно 11,2/7 = 1,6, как и для известной пары 8/5. Значит, пропорция составлена в одном порядке.
Считать треугольники подобными по одной паре равных углов — недостаточно: у разных треугольников может совпадать один угол, а форма при этом будет разной. Такую ошибку допускают, потому что принимают часть условия за весь признак. Проверь, что найдены две пары соответствующих равных углов или выполнено другое условие подобия.
Сопоставлять стороны без учёта порядка вершин — значит сравнивать отрезки, которые могут не соответствовать друг другу. Обычно это происходит, когда запись подобия переписывают, не отмечая равные углы и вершины. Для самопроверки выпиши пары вершин, а затем сопоставь стороны по их концам.
Переворачивать коэффициент подобия в середине решения нельзя: тогда одна дробь будет отношением первого треугольника ко второму, а другая — наоборот. Ошибка возникает, когда в каждом шаге выбирают дроби по удобству. Выбери порядок один раз и проверь, что все отношения составлены, например, как «второй к первому».
Подобие не означает равенство треугольников: они могут иметь одинаковую форму, но разные размеры. Путаница появляется из-за того, что в обоих случаях соответствующие углы равны. Проверь длины: у равных треугольников соответствующие стороны равны, а у подобных они лишь пропорциональны.
Для изучения подобия нужны свойства углов треугольника и признаки равенства треугольников: они помогают сопоставлять углы и стороны. Также пригодится умение находить отношение двух величин и решать пропорции. Подобие применяют, когда нужно определить недоступное расстояние по измеряемым отрезкам, а также при работе с масштабом и площадями подобных фигур. Далее эту тему можно связать с теоремой Фалеса и задачами на пропорциональные отрезки.
Чем подобные треугольники отличаются от равных?
У равных треугольников совпадают и форма, и размеры: соответствующие стороны равны. У подобных треугольников форма одна и та же, но размеры могут различаться, а стороны связаны общим коэффициентом.
Как правильно определить соответствующие стороны?
Сначала сопоставь вершины, например по равным углам. В записи △ABC ∼ △DEF порядок букв означает, что A соответствует D, B — E, C — F; значит, AB соответствует DE, BC — EF, AC — DF.
Достаточно ли равенства одного угла, чтобы доказать подобие?
Нет, одного равного угла недостаточно. Для признака по углам нужны две пары равных соответствующих углов; тогда третья пара также равна, поскольку сумма углов треугольника равна 180°.
Как выбрать порядок дробей при составлении пропорции?
Сначала выбери, стороны какого треугольника будут в числителях, и затем придерживайся этого выбора. Например, если сравниваешь первый треугольник со вторым, записывай отношения соответствующих сторон первого к сторонам второго.
Что показывает коэффициент подобия?
Он показывает, во сколько раз соответствующая сторона одного треугольника больше или меньше стороны другого. Если коэффициент больше 1, выбранный первый треугольник крупнее второго; если он меньше 1 — меньше.
6. Подобие
