6.1. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Определения и обозначения

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Если его вершины идут по порядку A, B, C, D, то AB ∥ CD и BC ∥ AD. Значит, речь идёт не просто о четырёхугольнике с похожими сторонами: обе пары должны быть параллельны. Это определение помогает сразу понять, какие свойства фигуры можно использовать в доказательстве.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые, то есть каждый равен 90°. Для проверки достаточно установить, что один угол параллелограмма прямой: соседний с ним тоже прямой, потому что их сумма равна 180°, а противоположные углы равны ему. Так вместо проверки четырёх углов можно доказать одно условие. При этом слово «параллелограмм» в определении обязательно.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Достаточно проверить равенство двух соседних сторон: противоположные стороны параллелограмма уже равны, поэтому равенство одной соседней пары делает равными все четыре стороны. Условие о параллелограмме тоже важно: одного равенства двух сторон произвольного четырёхугольника недостаточно. Такое определение позволяет узнавать ромб по его сторонам.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Следовательно, у квадрата все углы прямые, а все стороны одинаковой длины. Он одновременно является ромбом, потому что у него равны все стороны, и прямоугольником, потому что все углы прямые. Это позволяет применять к квадрату свойства обоих видов фигур.

Как это устроено

Проведём диагональ AC параллелограмма ABCD. Получившиеся треугольники ABC и CDA равны: AC у них общая сторона, а из параллельности AB ∥ CD и BC ∥ AD следуют равенства накрест лежащих углов при диагонали. По стороне и двум прилежащим к ней углам треугольники равны. Поэтому соответствующие стороны AB и CD, BC и AD равны, а углы B и D тоже равны; аналогично равны углы A и C. Соседние углы при этом составляют 180°, поскольку это односторонние углы при параллельных прямых.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в O. Рассмотрим треугольники AOB и COD: углы при пересечении диагоналей вертикальные и равны, а углы при параллельных AB и CD — накрест лежащие и тоже равны. Стороны AB и CD равны, как противоположные стороны параллелограмма. Значит, треугольники равны, и AO = OC, BO = OD. Иными словами, точка пересечения делит каждую диагональ пополам.

У прямоугольника диагонали равны. Сравним треугольники ABC и BAD: стороны AB у них общая, BC = AD как противоположные стороны, а углы B и A прямые. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому их третьи стороны AC и BD равны. В других параллелограммах угол между сторонами не обязательно прямой, поэтому этот вывод для них не действует.

У ромба все стороны равны. В треугольниках AOB и COB стороны AB и BC равны, AO = OC по свойству диагоналей параллелограмма, а BO общая. Следовательно, треугольники равны, и углы AOB и BOC равны. Они смежные, то есть в сумме дают 180°, поэтому каждый равен 90°: диагонали перпендикулярны. Равенство этих же треугольников показывает, что диагональ BD делит угол B пополам; аналогично диагональ AC делит пополам углы A и C.

Квадрат подходит сразу под два определения: он прямоугольник и ромб. Поэтому его диагонали равны, как у прямоугольника, а также перпендикулярны и делят углы пополам, как у ромба. Кроме того, диагонали квадрата делятся пополам точкой пересечения, поскольку это свойство любого параллелограмма. В результате у квадрата сочетаются все перечисленные свойства диагоналей.

Определения и свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата

Сначала найди в таблице нужный вид фигуры, затем проверь, есть ли у него требуемое свойство. Пометка «не обязательно» означает, что свойство может встречаться у отдельных фигур этого вида, но из определения не следует. Например, квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба, а произвольный параллелограмм — не всеми свойствами этих фигур.

Разбор задач

Задача 1. В параллелограмме ABCD угол A равен 70°. Найдите остальные углы. Сначала определим, какие углы противоположные, а какие соседние: напротив A находится C, а рядом с A — углы B и D. У параллелограмма противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

1. Так как углы A и C противоположные, ∠C = 70°.
2. Углы A и B соседние, поэтому ∠B = 180° − 70° = 110°.
3. Углы B и D противоположные, значит, ∠D = 110°.

Ответ: ∠B = 110°, ∠C = 70°, ∠D = 110°. Проверка: сумма всех углов равна 70° + 110° + 70° + 110° = 360°.

Задача 2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AO = 5 см, BO = 3 см. Найдите длины диагоналей. Точка O делит каждую диагональ пополам, поэтому известная половина позволяет восстановить всю диагональ. Нужно удвоить каждую из данных длин.

1. На диагонали AC точка O — середина, значит, OC = AO = 5 см.
2. Тогда AC = AO + OC = 5 + 5 = 10 см.
3. На диагонали BD также BO = OD = 3 см, поэтому BD = 3 + 3 = 6 см.

Ответ: AC = 10 см, BD = 6 см. Не следует считать эти диагонали равными: для обычного параллелограмма это свойство не гарантировано.

Задача 3. В параллелограмме диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Докажите, что это квадрат. Здесь нужно не угадать фигуру по рисунку, а применить признаки: равенство диагоналей поможет получить прямоугольник, а их перпендикулярность — ромб.

1. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в O. Они делятся пополам, поэтому AO = CO, BO = DO.
2. Треугольники ABC и BAD имеют AB общую, BC = AD, а диагонали AC = BD. По трём сторонам треугольники равны, значит, углы A и B равны. Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, поэтому каждый равен 90°: ABCD — прямоугольник.
3. Перпендикулярные диагонали вместе со свойством деления пополам дают равенство соседних сторон: прямоугольные треугольники AOB и COB имеют AO = OC и BO общую, следовательно, AB = BC. Параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб.

Ответ: ABCD — и прямоугольник, и ромб, следовательно, квадрат.

Типичные ошибки

Нельзя считать, что диагонали любого параллелограмма равны. У любого параллелограмма они делятся точкой пересечения пополам, но равенство диагоналей характерно для прямоугольника и квадрата. Эту ошибку часто вызывает смешение двух разных свойств диагоналей. Проверь себя: из условия о параллельных сторонах следует равенство половин каждой диагонали, а не равенство самих диагоналей.

Перпендикулярность диагоналей ромба не означает, что они равны. Ромб может иметь диагонали разной длины, хотя все его стороны равны. Равенство сторон устанавливает форму, но не заставляет диагонали иметь одинаковую длину. Перед выводом проверь, есть ли в условии отдельное основание для равенства диагоналей.

Один прямой угол сам по себе не делает произвольный четырёхугольник прямоугольником. В определении прямоугольник — это параллелограмм со всеми прямыми углами, поэтому сначала нужно подтвердить, что фигура является параллелограммом. Ошибку допускают, когда забывают часть определения. Для проверки найди в рассуждении основание считать противоположные стороны параллельными.

Квадрат не нужно считать фигурой, не связанной с прямоугольником и ромбом. Он соответствует обоим определениям: у него прямые углы и равные стороны, поэтому к нему применимы свойства диагоналей обоих видов фигур. Иногда замечают только одну особенность квадрата и упускают другую. Проверь, можно ли указать у него и прямые углы, и равенство всех сторон: оба условия выполняются.

Связь с другими темами

Чтобы работать с параллелограммами, нужно знать, что такое четырёхугольник и параллельные прямые. Также пригодятся свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущей, например равенство накрест лежащих углов. Доказательства свойств фигур опираются на признаки равенства треугольников. Позже эти свойства помогут находить углы и длины сторон, доказывать утверждения и изучать площади фигур.

Что запомнить

• У параллелограмма противоположные стороны и противоположные углы равны.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
• У прямоугольника диагонали равны.
• У ромба диагонали перпендикулярны и делят его углы пополам.
• Квадрат — одновременно прямоугольник и ромб.
• Свойства прямоугольника и ромба сохраняются у квадрата.