6.2. Теорема Фалеса и следствия из неё

Определения и обозначения

Теорема Фалеса утверждает: если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной стороне равные отрезки, то на другой стороне соответствующие отрезки тоже равны. Например, если на одной стороне два соседних промежутка равны, такими же будут промежутки между теми же параллельными прямыми на другой стороне. Теорема позволяет переносить равенство отрезков с одной стороны угла на другую.

Пропорциональные отрезки — это отрезки, отношения длин которых равны. Если параллельные прямые пересекают стороны угла в точках A, B, C и A′, B′, C′, расположенных в одном порядке от вершины, то соответствующие промежутки пропорциональны: AB/BC = A′B′/B′C′. Такая запись показывает, что сравнивают именно соответствующие промежутки, а не любые два отрезка с чертежа. Пропорция помогает найти неизвестную длину.

Деление отрезка в данном отношении — построение точки, которая разбивает отрезок на две части с заданным отношением длин. Например, отношение 2:3 означает, что первая часть состоит из двух одинаковых долей, а вторая — из трёх таких долей. Чтобы выполнить построение, используют вспомогательный луч и параллельные прямые. Так можно получить нужное деление, не измеряя отрезок линейкой.

Как это устроено

Пусть стороны угла выходят из вершины O, а несколько параллельных прямых пересекают обе стороны. На каждой стороне появляются точки пересечения, а между соседними точками — отрезки. Чтобы увидеть, какие отрезки сравниваются, нужно смотреть на промежутки между одной и той же парой параллельных прямых. Отсчёт на обеих сторонах ведут в одинаковом порядке от вершины угла.

Почему равные отрезки на одной стороне дают равные отрезки на другой? Соединим точки пересечения каждой параллельной прямой со сторонами угла: стороны угла и эти прямые образуют треугольники с общей вершиной O. У таких треугольников равны углы при O, а углы у параллельных прямых равны как накрест лежащие. Значит, треугольники подобны, и расстояния от O на двух сторонах увеличиваются в одном и том же масштабе. Поэтому равные промежутки на одной стороне превращаются в равные промежутки на другой.

Если промежутки на одной стороне не равны, равными на другой они обычно не будут. Но подобие треугольников сохраняет отношение соответствующих длин: при переходе с одной стороны угла на другую все отрезки умножаются на один и тот же масштаб. Поэтому отношение двух промежутков на первой стороне равно отношению соответствующих промежутков на второй. Это и есть следствие о пропорциональном делении сторон угла параллельными прямыми.

Следствие позволяет делить заданный отрезок на равные части. Из одного конца отрезка проводят вспомогательный луч и откладывают на нём столько равных отрезков, на сколько частей нужно разделить исходный. Последнюю отметку соединяют с другим концом исходного отрезка. Через остальные отметки проводят параллельные этой линии прямые до пересечения с исходным отрезком.

Построение работает потому, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла соответствующие промежутки. На вспомогательном луче эти промежутки равны по построению, а значит, по теореме Фалеса равны и части исходного отрезка. Для деления в отношении m:n на луче откладывают m+n одинаковых отрезков; точка, соответствующая m-й отметке, делит исходный отрезок в нужном отношении. Ключевое условие — провести через отметки прямые, параллельные линии, соединяющей последнюю отметку с концом исходного отрезка.

Теорема Фалеса и её следствия

В таблице перечислены ситуации, условия и выводы, которые связывают параллельные прямые с отрезками на сторонах угла. Сначала найди условие, подходящее к задаче, затем проверь, какие именно отрезки соответствуют друг другу. В задачах на построение отдельно проверь, что вспомогательные прямые действительно параллельны.

Разбор задач

Задача 1. Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне два соседних отрезка равны 3 см. Какова длина соответствующих отрезков на другой стороне, если один из них равен 3 см? Нужно распознать условие теоремы Фалеса: прямые параллельны, а отрезки на одной стороне равны. Поэтому их соответствующие отрезки на другой стороне тоже равны.

1. Проверяем условие: параллельные прямые пересекают обе стороны угла, значит, теорему можно применять. На одной стороне соседние отрезки равны, каждый имеет длину 3 см. Теорема Фалеса переносит это равенство на соответствующие отрезки другой стороны.
2. Один из соответствующих отрезков на другой стороне равен 3 см по условию. Второй равен ему, потому что они соответствуют равным отрезкам на первой стороне. Следовательно, его длина также составляет 3 см.

Ответ: 3 см.

Задача 2. Параллельные прямые отсекают на одной стороне угла отрезки 2 см и 5 см. На другой стороне соответствующие отрезки равны 6 см и x. Найдите x. Здесь известна пара пропорциональных промежутков, поэтому неизвестное находим из равенства отношений. Важно не поменять порядок соответствующих отрезков.

1. Записываем пропорцию для соответствующих отрезков: 2/5 = 6/x. Первые числа в дробях относятся к одному промежутку, вторые — к другому. Так мы используем следствие теоремы Фалеса, а не сравниваем произвольные стороны.
2. Перемножаем числа крест-накрест: 2x = 5 · 6 = 30. Делим обе части равенства на 2 и получаем x = 15. Единицы измерения сохраняются, поэтому результат выражен в сантиметрах.

Ответ: 15 см.

Задача 3. Разделите отрезок AB на пять равных частей с помощью циркуля и линейки. Нужно построить пять равных промежутков на вспомогательном луче, а затем перенести это разбиение на AB параллельными прямыми. Обозначим вспомогательный луч из точки A через r.

1. Проведите из A луч r, не совпадающий с AB. Циркулем отложите на нём пять равных отрезков подряд и обозначьте полученные точки C₁, C₂, C₃, C₄, C₅. Равенство этих отрезков задаётся раскрытием циркуля, поэтому измерять их линейкой не требуется.
2. Соедините C₅ с B. Через C₁, C₂, C₃ и C₄ проведите прямые, параллельные C₅B, до пересечения с AB. Параллельность можно построить циркулем и линейкой, перенося углы или используя построение перпендикулярных прямых.
3. На луче между соседними отметками получились равные отрезки. По теореме Фалеса соответствующие промежутки на AB тоже равны, а четыре проведённые прямые задают пять частей. Значит, точки пересечения делят AB на пять равных отрезков.

Ответ: отрезок AB разделён на пять равных частей.

Типичные ошибки

Применяют теорему, не проверив параллельность прямых. Часто равенство отрезков на рисунке кажется достаточным, но без параллельности теорема Фалеса не даёт нужного вывода. Перед решением отметь, какие прямые параллельны, и выясни, дано ли это или доказано. Если условие отсутствует, сначала нужно обосновать параллельность.

Сравнивают отрезки, которые не соответствуют друг другу. Это происходит, когда точки на одной стороне перечисляют от вершины, а на другой — в обратном порядке. Обозначь точки последовательно от вершины и сопоставляй промежутки между теми же парами параллельных прямых. Проверь соответствие по чертежу, а не по близости подписанных длин.

Записывают пропорцию, смешивая разные части чертежа. Например, в одну дробь могут попасть длины, которые не лежат между одними и теми же парами параллельных прямых. Сначала обозначь соответствующие отрезки на обеих сторонах и только потом составляй пропорцию. Проверка проста: числители сравнивают одну пару промежутков, знаменатели — другую.

При построении проводят прямые через отметки, но не следят за их параллельностью соединяющей линии. В таком случае полученные части исходного отрезка не обязаны быть равными. Ошибка возникает, если параллельность заменяют приблизительным наклоном на чертеже. Проверь построение циркулем и линейкой: через каждую отметку должна проходить именно прямая, параллельная линии от последней отметки к концу исходного отрезка.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой Фалеса нужно знать, что такое угол, луч и отрезок, а также признаки и свойства параллельных прямых. В частности, понадобится понимать, как параллельность связана с равенством углов. Само построение опирается на умение проводить лучи и параллельные прямые циркулем и линейкой. Теорема пригодится при делении отрезков, а позднее — в задачах на подобие треугольников, где также сравнивают отношения длин.

Что запомнить

• Теорема Фалеса применяется к параллельным прямым, пересекающим стороны угла.
• Равным отрезкам на одной стороне угла соответствуют равные отрезки на другой.
• Параллельные прямые делят стороны угла на пропорциональные отрезки.
• Для деления отрезка на равные части используют вспомогательный луч.
• В построении важно провести через отметки именно параллельные прямые.