6.3. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Они имеют одинаковую форму, хотя их размеры могут различаться. Подобие позволяет переносить известные соотношения с одной фигуры на другую.

Коэффициент подобия — отношение соответствующей стороны одного треугольника к соответствующей стороне другого. Его обозначают обычно буквой k: k = A₁B₁/AB. Он показывает, во сколько раз изменились все соответствующие стороны.

Соответствующие элементы треугольников — стороны и углы, занимающие одинаковое положение при сопоставлении вершин. Например, если вершине A соответствует A₁, то углу A соответствует угол A₁, а сторонам AB и AC — стороны A₁B₁ и A₁C₁. Без такого сопоставления легко составить неверную пропорцию.

Признаки подобия треугольников — условия, достаточные для установления подобия двух треугольников. Достаточно проверить один подходящий набор данных, а не сравнивать все стороны и углы. Это заметно сокращает доказательство.

Как это устроено

Сначала вершины треугольников сопоставляют по равным углам или по порядку, указанному в записи подобия. Если написано △ABC ∼ △A₁B₁C₁, то A соответствует A₁, B — B₁, C — C₁. Поэтому сторонам AB, BC, CA соответствуют A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁.

Равенство соответствующих углов означает, что треугольники имеют одну и ту же форму. В треугольнике достаточно знать два угла: третий определяется из суммы углов, равной 180°. Поэтому при одинаковых двух углах фигуры отличаются только общим масштабом, а соответствующие стороны оказываются пропорциональными.

Из подобия сразу следуют равенство соответствующих углов и единое отношение соответствующих сторон. Если △ABC ∼ △A₁B₁C₁, то ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁, а AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = CA/C₁A₁. Одно и то же отношение для всех пар сторон и есть признак общего масштаба.

Сравнивать все элементы не требуется, потому что каждый признак уже содержит достаточно информации о форме треугольника. Два угла задают форму, две стороны вместе с заключённым углом также однозначно определяют её, а три пропорциональные стороны задают одинаковые соотношения длин. Поэтому достаточно доказать любой один признак.

Пропорцию записывают в одном порядке: например, AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁ = k. Если известны три величины, неизвестную находят из равенства отношений. Следите, чтобы числитель всегда относился к одному треугольнику, а знаменатель — к другому.

Признаки подобия треугольников

В таблице сначала найдите известные данные, а затем сравните их с условием подходящего признака. При втором признаке угол обязательно должен быть заключён между указанными сторонами. После установления признака можно записать подобие и составить пропорцию для дальнейших вычислений.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ известно, что ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Требуется доказать подобие треугольников. Длины сторон находить не нужно, поскольку для вывода достаточно угловых данных.

1. Сопоставим вершины A и A₁, B и B₁. Тогда оставшиеся вершины C и C₁ также соответствуют друг другу.
2. В двух треугольниках равны два соответствующих угла: ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Значит, выполнено условие первого признака подобия.
3. Записываем вывод: △ABC ∼ △A₁B₁C₁. При этом ∠C = ∠C₁, а все соответствующие стороны пропорциональны.

Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по двум углам.

Задача 2

Стороны одного из подобных треугольников равны 6 см, 8 см и 10 см. Соответствующие стороны другого имеют коэффициент подобия 1,5. Нужно найти их длины, сохранив указанное соответствие.

1. Коэффициент 1,5 означает, что каждая сторона второго треугольника в 1,5 раза больше соответствующей стороны первого.
2. Умножаем длины по очереди: 6 · 1,5 = 9 см, 8 · 1,5 = 12 см, 10 · 1,5 = 15 см. Порядок сторон не меняем.

Ответ: соответствующие стороны равны 9 см, 12 см и 15 см.

Задача 3

В треугольнике ABC проведена DE ∥ BC, D лежит на AB, E — на AC. Известно: AD = 4 см, AB = 10 см, BC = 15 см. Требуется доказать подобие треугольников ADE и ABC и найти DE.

1. Угол A общий для треугольников ADE и ABC. Из DE ∥ BC следуют равенства ∠ADE = ∠ABC и ∠AED = ∠ACB как соответственных углов при параллельных прямых.
2. По двум углам △ADE ∼ △ABC. Соответствие вершин такое: A ↔ A, D ↔ B, E ↔ C.
3. Коэффициент меньшего треугольника относительно большего равен AD/AB = 4/10 = 0,4. Поэтому DE/BC = 0,4, откуда DE = 15 · 0,4 = 6 см.

Ответ: △ADE ∼ △ABC, DE = 6 см.

Типичные ошибки

Ученик может неправильно сопоставить вершины и записать стороны в разном порядке. Обычно это происходит, когда пропорцию составляют по расположению букв, не проверяя углы. Проверьте: каждой стороне в числителе должна соответствовать сторона в знаменателе, соединяющая соответствующие вершины.

Равенство одной стороны или одного угла ошибочно принимают за доказательство подобия. Одна длина и один угол не определяют форму всего треугольника. Спросите себя, выполнен ли хотя бы один полный признак.

При втором признаке иногда берут любые две стороны и известный угол. Но угол должен находиться между именно этими сторонами, иначе условие признака не выполнено. Полезно отметить стороны, образующие данный угол, и только потом проверять пропорцию.

Ещё одна ошибка — использование пропорциональности без проверки соответствия сторон. Даже правильные числа не доказывают подобие, если пары выбраны неверно. Сначала сопоставьте равные углы или вершины, затем сравнивайте стороны в одинаковом порядке.

Связь с другими темами

До изучения подобия нужны равенство треугольников, свойства углов и параллельных прямых, а также умение работать с пропорциями. Эти знания помогают распознавать признаки и правильно составлять отношения сторон.

Дальше подобие используется в теореме Пифагора, при измерении недоступных расстояний и изучении свойств высот и медиан. Оно также подготавливает к пониманию тригонометрических соотношений, где сравниваются стороны прямоугольных треугольников.

Что запомнить

• Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы.
• Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
• Коэффициент подобия показывает, во сколько раз изменяются соответствующие стороны.
• Два равных угла — достаточное условие подобия треугольников.
• Для второго признака нужны две пропорциональные стороны и равенство углов между ними.
• Для третьего признака нужны три пары пропорциональных сторон.
• При решении задач сначала устанавливают соответствие вершин, а затем составляют пропорцию.