"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Метрические соотношения связывают длины отрезков в прямоугольном треугольнике и окружности. С их помощью можно находить катеты и высоту через отрезки гипотенузы, а также вычислять длины частей хорд, секущих и касательных. Главная идея — выразить искомую длину через произведение известных отрезков. Многие такие равенства объясняются подобием треугольников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Метрическое соотношение — равенство, которое связывает длины отрезков, например стороны треугольника и их проекции. Оно помогает находить неизвестную длину, если известны другие отрезки. В таких равенствах встречаются произведения длин и квадраты отрезков. Поэтому полезно сначала понять, какие именно части фигуры связаны между собой.
Проекция катета на гипотенузу — отрезок гипотенузы, который соответствует этому катету после проведения высоты из прямого угла. Высота делит гипотенузу на две части, и каждой из них соответствует свой катет. Это определение нужно, чтобы правильно выбрать отрезок в формуле для катета. Проекция лежит на гипотенузе, а не на самом катете.
Среднее геометрическое двух положительных отрезков — отрезок, квадрат длины которого равен произведению длин этих двух отрезков. Например, если h² = p·q, то h — среднее геометрическое p и q. Чтобы найти такую длину, нужно перемножить известные отрезки и извлечь квадратный корень. Понятие помогает увидеть общий смысл соотношений для катетов и высоты.
Степень точки относительно окружности — величина, которую можно выразить через отрезки секущих, проведённых из этой точки, или через квадрат касательной. Она показывает связь между частями прямых, пересекающих окружность. Само значение степени в задачах обычно находят как произведение внешней части секущей на всю секущую. Если проведена касательная, это значение равно квадрату её длины.
Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты a и b и гипотенузу c. Проведём из вершины прямого угла высоту к гипотенузе: она разобьёт большой треугольник на два меньших прямоугольных. Каждый из них подобен исходному, потому что у них есть прямой угол и ещё один общий острый угол. Подобие важно не само по себе: оно позволяет составить равенства отношений соответствующих сторон.
Обозначим проекцию катета a на гипотенузу через p. Из подобия исходного треугольника и меньшего треугольника с катетом a получаем равенство отношений, которое после перемножения даёт a² = c·p. Для второго катета с проекцией q тем же способом получается b² = c·q. Значит, нужно брать не произвольный отрезок гипотенузы, а именно проекцию того катета, который ищем. Эти равенства позволяют вычислять катеты, даже если прямого измерения нет.
Высота h к гипотенузе тоже входит в пару подобных треугольников, образованных её проведением. Сопоставление их сторон даёт h² = p·q, где p и q — части гипотенузы. Причина появления произведения в том, что подобие задаёт пропорцию, а её преобразование приводит к квадрату высоты и произведению двух отрезков. Поэтому высоту находят как √(p·q), а не как сумму или разность частей гипотенузы.
Пусть хорды пересекаются внутри окружности. Если рассмотреть треугольники, вершина которых находится в точке пересечения хорд, у них окажутся равными вертикальные углы, а другие углы связаны с одной и той же дугой. Поэтому треугольники подобны. Из пропорции соответствующих сторон следует, что произведение двух частей одной хорды равно произведению двух частей другой хорды.
Для секущих, выходящих из одной точки вне окружности, рассуждение также опирается на подобие треугольников, образованных секущими и отрезками между точками окружности. В результате произведение внешней части на всю секущую одинаково для обеих прямых. Если одна из прямых касается окружности, касательная образует со второй секущей равенство t² = m·n: квадрат касательной равен произведению внешней части секущей на её полную длину. В обоих случаях важно не перепутать внешнюю часть с внутренней.
| Ситуация | Соотношение | Какие отрезки связаны |
|---|---|---|
| Прямоугольный треугольник: катеты a и b, гипотенуза c | a² = c·p; b² = c·q | Каждый катет, гипотенуза и соответствующая проекция p или q |
| Проекция катета на гипотенузу | a² = c·p или b² = c·q | Катет, его проекция и вся гипотенуза |
| Высота к гипотенузе | h² = p·q | Высота и две части гипотенузы |
| Две пересекающиеся хорды | m·n = r·s | Две части каждой хорды |
| Две секущие из одной внешней точки | m·(m + x) = r·(r + y) | Внешняя часть и вся длина каждой секущей |
| Касательная и секущая из одной внешней точки | t² = m·n | Касательная, внешняя часть и вся секущая |
Сначала определи, какая ситуация изображена в задаче, и обозначь нужные отрезки. Затем найди соответствующую строку и проверь, что в формулу подставляются именно те части фигуры, которые в ней указаны. Для секущей её полная длина состоит из внешней и внутренней частей.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, а проекция одного катета на неё — 4 см. Найдём этот катет. Здесь известны гипотенуза и проекция нужного катета, поэтому подходит равенство квадрата катета и произведения этих отрезков. Обозначим катет буквой a, чтобы не спутать его с проекцией.
Ответ: 2√13 см. Проверка показывает, что найденная длина примерно равна 7,2 см и меньше гипотенузы 13 см, что возможно для катета. Ошибкой было бы умножить 13 на длину самого катета: неизвестный отрезок должен остаться в квадрате слева, а справа нужна его проекция.
Задача 2. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 4 см и 9 см. Найдём высоту и оба катета. Части гипотенузы являются проекциями катетов, а их сумма даёт всю гипотенузу. Поэтому сначала используем соотношение для высоты, а затем — соотношения для катетов.
Ответ: высота равна 6 см, катеты — 2√13 см и 3√13 см. Катетам можно назначить разные буквы, но нужно сохранить соответствие с их проекциями. Для проверки квадрат суммы найденных катетов равен 52 + 117 = 169 = 13², что согласуется с теоремой Пифагора.
Задача 3. Из точки вне окружности проведены касательная длиной 6 см и секущая, внешний отрезок которой равен 4 см. Найдём длину всей секущей. Здесь известны касательная и внешняя часть секущей, поэтому используем равенство квадрата касательной и произведения внешнего отрезка на всю секущую. Обозначим длину всей секущей через n.
Ответ: 9 см. Вся секущая включает внешний и внутренний отрезки, поэтому её длина не может быть меньше внешней части 4 см. Проверка: 6² = 36, а 4·9 = 36; обе части равенства совпадают.
Путают катет с его проекцией и подставляют в формулу не тот отрезок. Это происходит потому, что оба отрезка связаны с одним и тем же катетом и часто обозначены рядом на чертеже. Проверь себя: проекция должна лежать на гипотенузе, а в равенстве участвуют квадрат катета, вся гипотенуза и именно его проекция. Если искомый катет обозначен a, его формула имеет вид a² = c·p.
Применяют соотношения для катетов и высоты к треугольнику, где нет прямого угла или высота проведена не к гипотенузе. Такую ошибку допускают, запомнив формулу, но не проверив условия её применения. Посмотри на чертёж: исходный треугольник должен быть прямоугольным, а высота — опущенной из вершины прямого угла на противоположную сторону. Если условия не выполнены, это равенство использовать нельзя.
При пересечении хорд перемножают части разных хорд, например m·r вместо m·n. Причина — в точке пересечения сходятся сразу четыре отрезка, и их легко перепутать. Проверь, что в каждом произведении собраны две части одной хорды: если первая хорда разделена на m и n, а вторая на r и s, то верно m·n = r·s. Не нужно перемножать отрезки, лежащие на разных хордах.
Для секущей умножают внешний отрезок на внутренний, хотя требуется произведение на всю секущую. Часто внешнюю часть принимают за всю длину прямой, потому что на чертеже внутренний участок не сразу заметен. Проверь границы: полная секущая идёт от внешней точки до дальней точки пересечения с окружностью, а значит, включает оба участка. Если внешний отрезок равен m, а внутренний x, в формулу входит m·(m + x), а не m·x.
Для понимания этих соотношений нужны теорема Пифагора, признаки подобия треугольников и свойства прямоугольного треугольника. Пифагор помогает проверять найденные стороны, а подобие объясняет, откуда возникают произведения отрезков. В задачах на окружность тот же способ рассуждения связывает части хорд, секущих и касательных. Эти равенства пригодятся, когда нужно вычислить длины, не измеряя их напрямую.
Что называют проекцией катета на гипотенузу?
Это часть гипотенузы, которую отсекает высота, проведённая из прямого угла. У каждого катета своя проекция.
Почему квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию?
После проведения высоты на гипотенузу получаются подобные треугольники. Из равенства соответствующих отношений сторон следует, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию.
Как найти высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу?
Нужно перемножить два отрезка, на которые высота делит гипотенузу, и извлечь квадратный корень. Если эти отрезки равны p и q, то высота равна √(pq).
Какие отрезки нужно перемножать при пересечении хорд?
Перемножают два отрезка одной хорды, а затем два отрезка другой хорды. Полученные произведения равны.
Какое равенство связывает касательную и секущую, проведённые из одной точки?
Квадрат длины касательной равен произведению внешней части секущей на длину всей секущей. Если касательная равна t, внешний отрезок секущей — m, а вся секущая — n, то t² = mn.
7. Метрические соотношения в треугольнике и окружности
