"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
В прямоугольном треугольнике длины катетов, гипотенузы, высоты к ней и отрезков гипотенузы связаны точными равенствами. Эти зависимости называют метрическими соотношениями: с их помощью можно находить неизвестные стороны и высоту, если известны другие длины. Главное правило — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Оно называется теоремой Пифагора и помогает решать задачи о расстояниях и длинах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Стороны, образующие этот угол, называются катетами, а противоположная ему сторона — гипотенузой. Это различие нужно, чтобы правильно обозначать стороны и применять теорему Пифагора.
Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе — перпендикуляр, проведённый из вершины прямого угла к гипотенузе. Перпендикуляр встречает гипотенузу под прямым углом и делит её на два отрезка. Эта высота помогает увидеть связь между сторонами большого треугольника и частями гипотенузы.
Проекция катета на гипотенузу — отрезок гипотенузы, который получается при её делении основанием высоты из вершины прямого угла. Каждому катету соответствует свой отрезок гипотенузы. Это понятие понадобится, чтобы не перепутать отрезки в формулах для катетов.
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике — равенства, связывающие катеты, гипотенузу, высоту к ней и проекции катетов. Они позволяют находить неизвестные длины не только по двум сторонам, но и по отрезкам гипотенузы. Дальше будем обозначать катеты буквами a и b, гипотенузу — c, высоту — h, а проекции — m и n.
Обозначим катеты через a и b, гипотенузу через c, высоту к ней — через h, а отрезки гипотенузы — через m и n. Основание высоты лежит на гипотенузе, поэтому два отрезка вместе составляют её целиком: m + n = c. Каждый из них является проекцией одного катета, то есть соответствует своей стороне. Это разбиение позволяет связать стороны исходного треугольника с меньшими отрезками.
Высота проведена из вершины прямого угла, значит, она перпендикулярна гипотенузе и образует с ней прямые углы в двух меньших треугольниках. Каждый малый треугольник также имеет прямой угол и ещё один острый угол исходного треугольника. Поэтому у него совпадают два угла с большим треугольником, а по двум углам треугольники подобны. Два малых треугольника тоже подобны друг другу: у каждого есть прямой угол, а их острые углы дополняют друг друга до 90°.
Из подобия исходного и малого треугольников получается a/c = m/a, если a соответствует отрезку m. Перемножим крайние и средние члены пропорции: a² = c·m. Так же для второго катета получаем b/c = n/b, откуда b² = c·n. Значит, квадрат каждого катета равен произведению гипотенузы на проекцию именно этого катета, а не на другой отрезок.
В малых треугольниках соответствующие стороны дают пропорцию h/m = n/h. После умножения крест-накрест получаем h² = m·n. Иными словами, квадрат высоты равен произведению двух отрезков гипотенузы. Поэтому высота является средним геометрическим этих отрезков: её квадрат равен их произведению.
Сложим равенства для катетов: a² + b² = c·m + c·n. Вынесем c за скобки: a² + b² = c(m + n). Поскольку m + n = c, получаем a² + b² = c² — теорему Пифагора. Она утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
| Что связывается | Соотношение | Условие или смысл |
|---|---|---|
| Катеты и гипотенуза | a² + b² = c² | Теорема Пифагора; c — гипотенуза |
| Катет, гипотенуза и проекция этого катета | a² = c·m; b² = c·n | Проекция должна соответствовать катету |
| Высота к гипотенузе и её отрезки | h² = m·n | Квадрат высоты равен произведению отрезков |
| Высота и произведение катетов | ab = c·h | Площади: ½ab = ½ch |
Сначала определи, какие длины известны и какую нужно найти, а затем выбери строку с подходящими величинами. Проверь, что m и n обозначают именно отрезки гипотенузы, а катеты в формулах соответствуют своим проекциям. Если неизвестна длина, а известно её значение в квадрате, в конце извлеки положительный квадратный корень.
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу. Здесь известны оба катета, а неизвестна сторона напротив прямого угла, поэтому применим теорему Пифагора. Гипотенуза обозначена c.
Ответ: 10 см. Проверка: гипотенуза действительно длиннее обоих катетов, а 10² равно 6² + 8². Если бы получилось число меньше 8, следовало бы перепроверить вычисления.
Задача 2. Гипотенуза равна 13 см, а проекция одного катета на неё — 4 см. Найдите этот катет. Для катета нужна проекция, соответствующая именно ему, и по условию она известна. Обозначим катет a, а его проекцию m.
Ответ: 2√13 см. Приближённо это около 7,2 см, что меньше гипотенузы 13 см. В ответе можно оставить точное значение с корнем, если не требуется десятичное приближение.
Задача 3. Высота к гипотенузе делит её на отрезки 4 см и 9 см. Найдите высоту, гипотенузу и катеты. Сначала найдём величины, для которых сразу известны все нужные данные: высоту — по двум отрезкам, гипотенузу — их суммой. Затем воспользуемся формулой квадрата катета.
Ответ: высота 6 см, гипотенуза 13 см, катеты 2√13 см и 3√13 см. Корни берём положительными, поскольку речь идёт о длинах. Проверим результат по теореме Пифагора: 52 + 117 = 169 = 13².
Иногда в теореме Пифагора возводят в квадрат не ту сторону или подставляют гипотенузу как катет. Так происходит, когда стороны обозначают только по длине, не сверяясь с углом. Проверь: гипотенуза лежит напротив прямого угла и должна быть наибольшей стороной.
В равенстве a² = c·m можно по ошибке взять отрезок n. Причина — оба отрезка лежат на одной гипотенузе и на первый взгляд кажутся взаимозаменяемыми. Проследи, какой малый треугольник содержит катет a: прилегающий к нему отрезок и есть нужная проекция.
Ещё одна ошибка — считать высоту средним арифметическим отрезков, то есть складывать их и делить на два. Верное соотношение имеет вид h² = m·n: высота определяется произведением отрезков, а не их средним арифметическим. Для проверки подставь найденную высоту в равенство и убедись, что её квадрат равен произведению.
После вычисления квадрата длины иногда забывают извлечь корень или оставляют отрицательный ответ. Такое случается, если остановиться на равенстве вроде a² = 52. Длина должна быть числом, квадрат которого равен 52, и она положительна: a = √52, а не −√52.
Для вывода метрических соотношений нужны свойства прямоугольных треугольников, понятие высоты и признаки подобия. Подобие объясняет, почему стороны большого и малых треугольников образуют пропорции, из которых получаются нужные равенства. Если эти темы знакомы, формулы можно не заучивать отдельно, а восстанавливать.
Теорема Пифагора пригодится не только в задачах о треугольниках. С её помощью находят расстояния и длины на координатной плоскости, решают задачи на площади и выполняют геометрические построения. Во всех случаях важно сначала увидеть прямоугольный треугольник и верно определить его гипотенузу.
Как определить, какая сторона прямоугольного треугольника является гипотенузой?
Найди прямой угол: гипотенуза лежит напротив него. Она длиннее каждого из двух катетов.
Почему в теореме Пифагора квадрат гипотенузы стоит отдельно?
Теорема связывает квадраты сторон так: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Гипотенуза — сторона напротив прямого угла, поэтому её квадрат стоит отдельно от суммы.
Что называют проекцией катета на гипотенузу?
Высота из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка. Отрезок, соответствующий данному катету, и называют его проекцией на гипотенузу.
Как понять, какой отрезок гипотенузы подставлять в формулу для катета?
Нужно взять отрезок, который прилегает к этому катету в одном из образовавшихся малых треугольников. Если катет обозначен a, а его проекция — m, используют a² = c·m.
Можно ли найти высоту к гипотенузе, если известны только её отрезки?
Да. Если отрезки равны m и n, то квадрат высоты равен их произведению: h² = m·n. Поэтому высота равна √(m·n).
7.1. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора
