"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Синус, косинус, тангенс и котангенс связывают углы и стороны прямоугольного треугольника. Эти отношения зависят от величины угла, поэтому помогают находить неизвестные элементы. Для любого треугольника действуют теоремы косинусов и синусов: первая связывает три стороны и угол между двумя из них, а вторая — стороны с противолежащими углами. С их помощью решают задачи на расстояния и углы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус острого угла α в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = a / c. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = b / c. Эти отношения позволяют по известной стороне и углу находить другую сторону.
Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = a / b. Котангенс — обратное отношение: ctg α = b / a. Они удобны, когда сравниваются два катета и гипотенуза в задаче не нужна.
Теорема косинусов связывает квадрат одной стороны с квадратами двух других сторон и косинусом угла между ними: a² = b² + c² − 2bc cos A. Она обобщает теорему Пифагора и работает не только в прямоугольном треугольнике.
Теорема синусов утверждает, что отношения стороны к синусу противолежащего угла равны: a / sin A = b / sin B = c / sin C. Поэтому по одной известной паре «сторона и противоположный угол» можно находить другие стороны или углы.
Чтобы найти все четыре отношения для одного угла, сначала отметьте его на рисунке. Катет напротив вершины угла будет противолежащим, а катет, образующий эту вершину вместе с гипотенузой, — прилежащим. Затем подставьте длины в нужные отношения: sin α = a / c, cos α = b / c, tg α = a / b, ctg α = b / a.
Размер прямоугольного треугольника не меняет значения синуса и косинуса. Если увеличить треугольник, его соответствующие стороны умножатся на один и тот же коэффициент, который сократится в дроби. Причина в подобии: прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом имеют равные соответствующие углы и пропорциональные стороны.
В произвольном треугольнике может не быть прямого угла, поэтому определения через катеты напрямую уже не применяются. Однако высота разбивает такой треугольник на два прямоугольных, где можно использовать синус и косинус. После объединения полученных равенств появляются теоремы, связывающие все стороны и углы исходного треугольника.
Для вывода теоремы косинусов проведём высоту к стороне a. Она разделит остальные стороны на проекции, то есть их «тени» на основании; длина проекции выражается через косинус угла. Применив теорему Пифагора к двум прямоугольным треугольникам и раскрыв скобки, получаем a² = b² + c² − 2bc cos A. Так появляется поправка −2bc cos A, которой нет в теореме Пифагора.
Теорема синусов получается из площадей треугольника: его площадь можно выразить как ½bc sin A, ½ca sin B или ½ab sin C. Приравнивая эти выражения и сокращая общие множители, получаем a / sin A = b / sin B = c / sin C. Значит, неизвестную сторону можно найти через известную пару, а неизвестный угол — сравнив соответствующие отношения.
| Понятие | Связь величин | Когда применять |
|---|---|---|
| Синус острого угла | sin α = противолежащий катет / гипотенуза | В прямоугольном треугольнике, если нужны угол и противолежащая сторона |
| Косинус острого угла | cos α = прилежащий катет / гипотенуза | В прямоугольном треугольнике, если нужны угол и прилежащая сторона |
| Тангенс и котангенс острого угла | tg α = противолежащий / прилежащий; ctg α = прилежащий / противолежащий | Когда сравниваются два катета |
| Теорема косинусов | a² = b² + c² − 2bc cos A | Известны две стороны и угол между ними или три стороны |
| Теорема синусов | a / sin A = b / sin B = c / sin C | Известна сторона и противолежащий угол, а также нужна другая пара |
Сначала определите, какие величины даны, а затем найдите подходящую строку. В каждой формуле проверяйте, какие стороны и углы являются соответствующими.
Для теоремы косинусов особенно важен угол между двумя известными сторонами. Для теоремы синусов ищите пары «сторона — угол напротив неё».
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а катет, противолежащий углу α, равен 6. Найдём sin α.
Ответ: sin α = 0,6.
В треугольнике ABC стороны AB = 5 и AC = 7, угол A = 60°. Требуется найти сторону BC. Угол A расположен между данными сторонами, поэтому применяем теорему косинусов.
Ответ: BC = √39, примерно 6,2.
В треугольнике ABC сторона AB = 8, угол C = 30°, угол A = 45°. Нужно найти BC. Стороне AB противолежит угол C, а стороне BC — угол A.
Ответ: BC = 8√2, примерно 11,3.
Противолежащий и прилежащий катеты путают, потому что их положение меняется при выборе другого угла. Ошибка возникает, если смотреть на рисунок, не выделив выбранную вершину. Проверьте себя: противолежащий катет не касается вершины угла, а прилежащий касается и не является гипотенузой.
Иногда считают, что значение синуса или косинуса зависит от длины сторон. Так происходит, когда запоминают только отдельный пример, а не смысл отношения. Сравните два подобных треугольника: одинаковый угол даёт одинаковые отношения соответствующих сторон.
В теореме косинусов можно взять косинус не того угла. Обычно это случается, когда выбран угол, не лежащий между сторонами b и c. Проверьте формулу по рисунку: угол A должен быть заключён именно между сторонами, квадраты которых складываются.
В теореме синусов сторону иногда сопоставляют с соседним, а не с противоположным углом. Причина — буквенные обозначения запоминаются без связи с рисунком. Проверьте: у стороны AB противоположная вершина C, значит ей соответствует угол C.
Для работы с темой нужны названия элементов прямоугольного и произвольного треугольника, свойства углов, теорема Пифагора и признаки подобия. Подобие объясняет постоянство тригонометрических отношений, а теорема Пифагора участвует в выводе теоремы косинусов.
Полученные формулы помогают находить неизвестные стороны и углы, когда обычных свойств треугольника недостаточно. Дальше эти идеи станут основой изучения тригонометрии и способов вычислять расстояния и углы в геометрии.
Чем синус отличается от косинуса?
Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — прилежащего катета к гипотенузе. Катеты выбирают относительно конкретного угла.
Почему тригонометрические отношения не меняются при увеличении прямоугольного треугольника?
При увеличении треугольника все его стороны умножаются на один и тот же коэффициент. Поэтому при делении одной соответствующей стороны на другую этот коэффициент сокращается.
Как понять, какую теорему применять — косинусов или синусов?
Теорема косинусов удобна, если известны две стороны и угол между ними или три стороны. Теорема синусов подходит, когда известны сторона и противолежащий угол, а также есть другая связанная пара.
Какой угол нужно подставлять в теорему косинусов?
Нужно брать угол между двумя сторонами, квадраты которых складываются в формуле. Например, для стороны a используются стороны b и c и угол A между ними.
Как в теореме синусов определить, какой угол противолежит стороне?
Противолежащий стороне угол не имеет с ней общей вершины. В треугольнике ABC стороне AB противолежит угол C, стороне BC — угол A, а стороне AC — угол B.
7.2. Тригонометрические функции. Теоремы косинусов и синусов
