"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Когда хорды пересекаются внутри окружности или секущие выходят из одной внешней точки, длины образованных отрезков связаны точными равенствами. Эти соотношения помогают находить неизвестные длины и решать задачи о круге без измерений. Главное — правильно различать внутренние и внешние части, а также полную длину секущей: для хорд перемножают части каждой хорды, для секущих — внешнюю часть и всю секущую. Связь с касательной выражается отдельным равенством.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Она проходит внутри круга и разделяет круговую область на две части, меньшую и большую, если хорда не является диаметром. Это определение помогает увидеть, какие отрезки участвуют в задаче, когда хорды пересекаются.
Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Если точки пересечения обозначить A и B, то отрезок AB находится внутри окружности, а продолжения прямой за точки A и B лежат снаружи. Такое обозначение позволяет отличать часть секущей внутри окружности от отрезка до самой дальней точки.
Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку; эта точка называется точкой касания. В отличие от секущей, касательная не проходит через окружность и не образует внутри неё отрезка. Точка касания нужна, чтобы понимать, какой именно отрезок называют длиной касательной.
Внешняя часть секущей лежит между внешней точкой и ближайшей точкой пересечения с окружностью, а внутренняя часть — между двумя точками пересечения. Полная секущая тянется от внешней точки до дальней точки окружности, поэтому состоит из внешней и внутренней частей. При пересечении хорд внутри окружности на каждой хорде тоже выделяют две части — от точки пересечения до её концов.
Пусть две хорды пересекаются внутри окружности в точке O. Одна хорда делится на отрезки OA и OB, другая — на OC и OD; произведение OA · OB равно произведению OC · OD. Это теорема о пересекающихся хордах: произведения отрезков, на которые точка пересечения делит хорды, равны. Она связывает длины частей, хотя сами хорды могут быть расположены под разными углами.
Равенство для хорд возникает из подобия треугольников, образованных концами хорд и точкой пересечения. Например, треугольники AOC и DOB имеют равные углы при O как вертикальные углы, а другие пары углов равны как вписанные углы, опирающиеся на одни и те же дуги. Из подобия следует пропорция соответствующих сторон; после перемножения её членов получается равенство произведений частей хорд. Поэтому важно сопоставлять отрезки по их расположению, а не просто выбирать любые два.
Теперь проведём из внешней точки P две секущие, пересекающие окружность в точках A и B, а также C и D, причём A и C — ближайшие к P. Тогда PA · PB = PC · PD: произведение внешней части на полную длину одной секущей равно такому же произведению для другой. Здесь PA и PC — внешние части, а PB и PD — полные длины от P до дальних точек окружности. Значит, полная длина включает и внешний отрезок, и внутренний участок окружности, а не только часть внутри.
Для двух секущих это соотношение также объясняется подобием треугольников, построенных по точкам пересечения секущих с окружностью. У треугольников совпадают пары углов: один угол общий при внешней точке, другие опираются на одинаковые дуги окружности. Пропорциональность соответствующих сторон после преобразования даёт равенство произведений внешнего отрезка и полной секущей. Именно подобие объясняет, почему в формуле участвуют отрезки обеих секущих, проведённых из одной точки.
Если из внешней точки проведены касательная длиной t и секущая, у которой внешняя часть равна x, а полная длина равна y, то t² = x · y. Это соотношение можно рассматривать как частный случай связи отрезков, проведённых из одной точки: касательная выступает в равенстве дважды, поэтому её длина умножается сама на себя. В правой части берутся внешняя часть и полная длина секущей. Формула применима только тогда, когда касательная и секущая начинаются в одной внешней точке.
Сначала найди общую точку прямых и определи, находится ли она внутри окружности или снаружи. Затем подпиши на секущих внешние части, внутренние участки и полные длины; полная длина до дальней точки равна сумме двух частей. Выбери строку таблицы, которая соответствует рисунку задачи, и только после этого подставляй значения.
| Расположение прямых | Какие отрезки сравнивают | Соотношение |
|---|---|---|
| Две хорды пересекаются внутри окружности | Части каждой хорды от точки пересечения до её концов | Произведения частей равны: a · b = c · d |
| Две секущие выходят из одной внешней точки | Внешняя часть и полная длина каждой секущей | a · b = c · d, где b и d — полные длины |
| Касательная и секущая выходят из одной внешней точки | Длина касательной; внешняя часть и полная длина секущей | t² = a · b, где b — полная длина |
Задача 1. Две хорды пересекаются внутри окружности. Части одной хорды равны 3 см и 8 см, одна часть второй равна 4 см. Найти вторую часть. Здесь все числа обозначают участки от точки пересечения до концов соответствующих хорд. Поэтому нужно составить равенство произведений частей хорд, а не складывать известные длины.
Ответ: 6 см.
Задача 2. Из внешней точки проведены две секущие. У первой внешняя часть равна 4 см, внутренняя — 5 см; у второй внешняя часть равна 3 см. Найти её внутреннюю часть. Важно не принять внутренние участки 5 см и искомый отрезок за полные длины секущих. Для каждой секущей сначала составим полную длину как сумму внешней и внутренней частей.
Ответ: 9 см.
Задача 3. Из одной внешней точки проведены касательная длиной 12 см и секущая, внешняя часть которой равна 8 см. Найти полную длину секущей и её внутреннюю часть. Здесь известна длина касательной, поэтому в формуле нужно возвести её в квадрат. Полученное значение разделим на внешнюю часть, чтобы найти полную секущую.
Ответ: полная длина секущей — 18 см, внутренняя часть — 10 см.
В теореме о двух секущих иногда умножают внешнюю часть на внутреннюю. Так делают, потому что смешивают участок внутри окружности с полной длиной секущей. Проверь обозначения: второй множитель должен доходить от общей внешней точки до дальней точки пересечения, то есть равняться сумме внешней и внутренней частей.
При пересечении хорд можно случайно перемножить отрезки, принадлежащие разным хордам. Это происходит, если записывать длины, не отметив, как точка пересечения делит каждую хорду. Сначала выпиши две пары частей по отдельности, а затем перемножь отрезки внутри каждой пары; равенство сравнивает именно эти произведения.
В соотношении касательной и секущей часто забывают возвести длину касательной в квадрат или ошибочно возводят в квадрат секущую. Причина — в формуле одновременно встречаются квадрат и произведение. Для самопроверки запиши её словами: квадрат касательной равен произведению внешней части на полную длину секущей; квадрат относится только к касательной.
Ещё одна ошибка — считать внутреннюю часть полной длиной секущей. Внутренний отрезок начинается на окружности, а полная секущая — во внешней точке, поэтому она длиннее на величину внешней части. Проверь, до какой точки измерена длина: до ближайшей точки окружности или до дальней; во втором случае сложи внешнюю и внутреннюю части.
Для работы с соотношениями нужно знать окружность, хорду и касательную, а также находить точки, в которых прямая пересекает окружность. Обоснования теорем используют подобие треугольников и пропорциональность соответствующих сторон. Поэтому умение распознавать равные углы помогает не только понять доказательство, но и выбирать подходящие отрезки в вычислениях. Эти правила пригодятся в задачах на окружность, поиск неизвестных длин и доказательство геометрических утверждений.
Что называют секущей окружности?
Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух точках. Эти точки отсекают на прямой отрезок внутри окружности и две внешние части.
Почему при пересечении хорд перемножают именно части каждой хорды?
Точка пересечения делит каждую хорду на две части, и произведения частей одной хорды и другой равны. Это следует из подобия треугольников, в которых соответствуют именно отрезки, лежащие на одной хорде.
Что означает полная длина секущей?
Это расстояние от внешней точки до дальней точки пересечения секущей с окружностью. Полная длина складывается из внешней и внутренней частей.
Какое соотношение связывает касательную и секущую из одной точки?
Квадрат длины касательной равен произведению внешней части секущей на её полную длину. Если обозначить касательную через t, а части секущей через x и y, то t² = x(x + y).
Как понять, какую теорему применять в задаче?
Посмотри, где пересекаются прямые и какие из них проведены: внутри окружности или из одной внешней точки. Для двух хорд перемножай части каждой хорды, для двух секущих — внешнюю часть и полную длину, а при касательной используй её квадрат.
7.3. Соотношения между отрезками, возникающими при пересечении прямых с окружностью
