"Геометрия", Шарыгин И.Ф.
Угол, связанный с окружностью, помогает измерять не только поворот между двумя лучами, но и дугу, которую они выделяют. Центральный угол равен мере стягиваемой им дуги, а вписанный, опирающийся на ту же дугу, вдвое меньше. Эти связи позволяют находить неизвестные углы и дуги, сравнивать углы с разными вершинами и решать задачи о касательных и хордах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его стороны пересекают окружность в двух точках, а дуга между этими точками называется дугой, стягиваемой углом. Такое определение помогает связать угол с частью окружности и измерить эту часть.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её ещё в двух точках. Он опирается на дугу между точками пересечения сторон, не содержащую вершину угла. Это уточнение нужно, чтобы не спутать нужную дугу с другой дугой между теми же точками.
Градусная мера дуги — величина, равная градусной мере центрального угла, который стягивает эту дугу. Например, если центральный угол равен 60°, соответствующая ему дуга тоже имеет меру 60°. Такое соглашение позволяет выражать дуги в градусах и сравнивать их с углами.
Угол между касательной и хордой имеет вершину в точке касания окружности. Одна его сторона лежит на касательной, а другая — на хорде, выходящей из точки касания. Он нужен для задач, где угол образован не двумя хордами, а касательной и хордой.
Градусная мера дуги совпадает с мерой центрального угла, который её стягивает. Это не случайное равенство: градусом измеряют поворот, а центральный угол показывает, на какой поворот приходится дуга окружности. Полный оборот вокруг центра составляет 360°, и вся окружность тоже имеет меру 360°. Поэтому доля полного угла соответствует такой же доле всей окружности.
Вписанный угол опирается на дугу, не содержащую его вершину. Если соединить центр окружности с концами этой дуги и с вершиной угла, радиусы образуют равнобедренные треугольники: у каждого две стороны равны радиусу. Углы при основаниях этих треугольников равны, и вместе они показывают, что центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше вписанного. Значит, вписанный угол равен половине соответствующего центрального.
Из этого сразу следует, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Каждый из них составляет половину одного и того же центрального угла, а значит, их величины совпадают. Вершины при этом могут находиться в разных точках окружности. Проверять нужно именно совпадение дуги, а не положение вершин.
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Причина в том, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, а радиусы к концам хорды равны. Сравнение получившихся равнобедренных треугольников связывает угол при касательной с половиной центрального угла. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, тоже равен этой половине.
По одной известной величине можно последовательно найти остальные. Мера дуги равна соответствующему центральному углу, а вписанный угол составляет половину и дуги, и центрального угла. Поэтому для перехода от вписанного угла к дуге или центральному углу умножают на 2, а для перехода от дуги или центрального угла к вписанному — делят на 2. Для угла с касательной и хордой используют ту же связь с дугой и вписанным углом.
| Что рассматриваем | Как определяется | Связь с дугой или другим углом |
|---|---|---|
| Центральный угол | Вершина находится в центре окружности, стороны пересекают окружность. | Равен мере стягиваемой им дуги. |
| Вписанный угол | Вершина находится на окружности, стороны пересекают окружность. | Равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. |
| Углы, опирающиеся на одну дугу | Вершины могут быть разными, но углы опираются на одну дугу. | Равны между собой. |
| Угол между касательной и хордой | Вершина — точка касания; стороны лежат на касательной и хорде. | Равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. |
Сначала определи, какой угол дан, и найди дугу, с которой он связан. Затем используй равенство или деление пополам из третьего столбца. Если речь идёт о большой дуге, уточни, какой именно центральный угол — обычный или рефлексный — ей соответствует.
Задача 1. Центральный угол равен 74°. Найдите градусную меру стягиваемой им дуги. Здесь угол уже имеет вершину в центре, поэтому переходить к вписанному углу не требуется. Достаточно воспользоваться определением меры дуги.
Ответ: 74°.
Задача 2. Вписанный угол опирается на дугу в 112°. Найдите угол и соответствующий центральный угол. Сначала связываем вписанный угол с мерой дуги: вписанный угол вдвое меньше неё. Затем используем равенство меры дуги и соответствующего центрального угла.
Ответ: вписанный угол — 56°, центральный угол — 112°.
Задача 3. Касательная проведена в точке окружности, а хорда образует с ней угол 38°. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, и меру этой дуги. Сначала применяем связь угла между касательной и хордой с вписанным углом. Затем находим дугу, которая вдвое больше найденного вписанного угла.
Ответ: вписанный угол — 38°, мера соответствующей дуги — 76°.
Для вписанного угла иногда выбирают дугу, содержащую его вершину. Так происходит, если смотреть только на концы сторон и не отметить положение вершины. Проверь себя: нужная дуга соединяет концы сторон и не проходит через вершину угла.
Другая ошибка — считать вписанный угол равным центральному. Углы, опирающиеся на одну дугу, не равны: вписанный составляет половину центрального. Чтобы проверить вычисление, удвой результат для вписанного угла и сравни его с центральным углом или мерой дуги.
Между двумя точками окружности есть малая и большая дуги, но их меры различны. Если выбрать малую дугу вместо большой, соответствующий угол окажется не тем, который требуется; большой дуге соответствует рефлексный центральный угол, превышающий 180°. Перед вычислением отметь, какая дуга названа или выделена условием, и проверь, что её мера согласуется с выбранным углом.
При угле между касательной и хордой можно ошибиться с дугой, потому что у тех же концов есть два пути по окружности. Стороны данного угла выделяют конкретную дугу, и именно её нужно сопоставлять с вписанным углом. Проведи мысленно дугу между концом хорды и второй точкой её продолжения на окружности, не меняя расположение угла.
Для этой темы нужны понятия окружности, радиуса, хорды, касательной и градусной меры угла. Радиусы помогают объяснять свойства равнобедренных треугольников, а касательная задаёт прямой угол с радиусом в точке касания. Измерение углов окружности пригодится при доказательстве свойств вписанных многоугольников и решении задач на окружность. Оно также связывает вычисления с построениями и геометрическими доказательствами.
Почему вписанный угол равен половине центрального?
Центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу, связаны расположением радиусов и хорд. Если соединить центр окружности с вершиной вписанного угла, получатся равнобедренные треугольники, из которых следует: вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального.
Как определить, на какую дугу опирается вписанный угол?
Посмотри на концы сторон угла: они лежат на окружности и ограничивают две дуги. Для вписанного угла выбирают дугу между этими точками, которая не содержит вершину угла.
Могут ли два вписанных угла быть равны, если их вершины разные?
Да. Если оба угла опираются на одну и ту же дугу, каждый равен половине соответствующего центрального угла. Поэтому их величины совпадают, даже если вершины расположены в разных точках окружности.
Как найти меру дуги, если известен вписанный угол?
Найди дугу, на которую опирается вписанный угол, и умножь его величину на 2. Например, если угол равен 35°, мера этой дуги равна 70°.
Как связаны касательная, хорда и угол между ними?
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, который опирается на ту же дугу. Поэтому мера этой дуги вдвое больше угла между касательной и хордой.
5.2. Измерение углов, связанных с окружностью
