"Геометрия", Погорелов А.В.
Угол, связанный с окружностью, помогает определить величину дуги и найти неизвестные углы в геометрической задаче. Центральный угол равен градусной мере дуги, которую он стягивает, а вписанный угол вдвое меньше такой дуги. Похожие правила действуют для угла между касательной и хордой. Чтобы выбрать верную формулу, сначала выясняют, на какую именно дугу опирается каждый угол.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности. Его стороны пересекают окружность в двух точках, а дуга между этими точками называется стягиваемой углом. Такое название помогает понять, какую часть окружности нужно измерять, когда известен центральный угол.
Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают её ещё в двух точках. Дугой, на которую он опирается, называют дугу между этими точками, лежащую напротив вершины угла. Это определение позволяет не перепутать нужную дугу с той, на которой находится вершина.
Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла. Дугу обозначают по её концам, то есть указывают две точки окружности, между которыми она проходит. Это нужно, чтобы различать две дуги с одними и теми же концами: короткую и длинную.
Угол между касательной и хордой имеет вершину в точке касания окружности. Одна его сторона лежит на касательной, а другая — на хорде, которая начинается в точке касания. Такой угол тоже связан с дугой, концы которой совпадают с концами хорды.
Центральный угол и соответствующая ему дуга имеют одинаковую градусную меру. Это следует из самого способа измерения окружности: дугу оценивают тем углом, который она образует в центре. Например, если центральный угол равен 70°, то и дуга, которую он стягивает, имеет меру 70°. Важно каждый раз уточнять, о какой из двух дуг между концами угла идёт речь.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Чтобы увидеть причину, соедини вершину вписанного угла с центром окружности: получатся радиусы, а значит, равнобедренные треугольники. Их углы при основании равны, и при сложении углов получается, что центральный угол вдвое больше вписанного. Если одна сторона вписанного угла проходит через центр, она становится диаметром; тогда один из образовавшихся треугольников равнобедренный, и сумма углов снова даёт то же соотношение.
Если два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, то каждый равен половине её градусной меры. Поэтому эти углы равны между собой. Для применения свойства недостаточно, чтобы углы просто находились на одной окружности: нужно проверить, что концы их сторон задают именно одну и ту же дугу напротив вершин.
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, который опирается на соответствующую дугу. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной; вместе с радиусами к концам хорды он помогает получить равнобедренный треугольник и сравнить углы. Если взять смежный угол между касательной и хордой, он будет связан с другой дугой, а его величина вместе с первым углом составит 180°.
Чтобы найти неизвестную величину, сначала проследи, где пересекают окружность стороны каждого угла. Затем отметь концы соответствующей дуги и выясни, лежит ли она напротив вершины или включает её. Для центрального угла меру дуги не меняют, для вписанного умножают её на ½, а при обратном поиске дуги вписанный угол умножают на 2. Если углы связаны касательной и хордой, дополнительно проверь, не рассматривается ли смежный угол.
| Что рассматриваем | Как связан с дугой | Как найти градусную меру |
|---|---|---|
| Центральный угол | Стягивает дугу между точками пересечения сторон с окружностью | Угол равен градусной мере соответствующей дуги |
| Вписанный угол | Опирается на дугу между точками пересечения сторон, лежащую напротив вершины | Угол равен половине дуги; дуга вдвое больше угла |
| Угол между касательной и хордой | Связан с дугой между концами хорды | Равен вписанному углу, опирающемуся на соответствующую дугу |
| Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу | Имеют одну и ту же дугу напротив вершин | Углы равны |
Сначала найди в таблице вид угла и установи, на какой дуге он основан. Затем выбери правило из последнего столбца и подставь известную величину. Для смежного угла между касательной и хордой учитывай, что его дуга может быть другой.
Задача 1. Центральный угол равен 86°. Найдите градусную меру соответствующей дуги. Здесь не требуется делить или умножать на два: центральный угол и его дуга измеряются одинаково. Проверим, что речь идёт именно о дуге, стягиваемой данным углом.
Ответ: 86°.
Задача 2. Вписанный угол опирается на дугу в 124°. Найдите угол. Вершина вписанного угла лежит на окружности, поэтому здесь нужно применить правило для вписанного, а не центрального угла. Его величина составляет половину градусной меры дуги.
Ответ: 62°.
Задача 3. Касательная и хорда образуют угол 37°. Найдите вписанный угол, опирающийся на соответствующую дугу, а затем объясните, как изменится ответ, если взять смежный угол. Сначала связываем угол с касательной и хордой с вписанным углом на той же дуге. Если выбрать смежный угол, нужно учитывать уже другую дугу.
Ответ: 37° для исходного угла и 143° для смежного.
Первая ошибка — считать вписанный угол равным дуге. Так бывает, когда его путают с центральным углом, который действительно равен дуге. Проверь себя: если дан вписанный угол, дугу нужно удвоить, а если дана дуга — угол вдвое меньше неё.
Вторая ошибка — сравнивать углы, опирающиеся на разные дуги. Ученик может заметить, что оба угла вписанные, и сразу объявить их равными. Перед применением свойства отметь концы дуги для каждого угла и сравни получившиеся пары точек.
Третья ошибка — выбирать не ту дугу между концами сторон вписанного угла. Часто берут дугу, на которой расположена вершина, хотя нужна дуга напротив неё. Чтобы проверить выбор, проследи, какая часть окружности находится внутри области, противоположной вершине угла.
Четвёртая ошибка — называть вписанным любой угол с вершиной на окружности. Для вписанного угла обе стороны должны пересекать окружность в двух точках, отличных от вершины. Проверь, что каждая сторона действительно задаёт точку пересечения и вместе они определяют дугу.
Для работы с углами окружности нужны знания о видах углов, их градусной мере и смежных углах. Также важно различать радиус — отрезок от центра до окружности, хорду — отрезок между двумя точками окружности — и касательную, имеющую с окружностью одну общую точку. Эти понятия помогают распознавать углы и строить нужные связи.
Правила пригодятся при доказательстве свойств треугольников и решении задач на окружность. Например, радиусы образуют равнобедренные треугольники, а это помогает сравнивать углы. Умение отмечать дуги позволяет находить неизвестные величины без измерений.
Как определить, на какую дугу опирается вписанный угол?
Посмотри на точки, в которых стороны угла пересекают окружность: это концы дуги. Нужна дуга, которая лежит напротив вершины угла, а не содержит её.
Почему вписанный угол вдвое меньше центрального?
Оба угла опираются на одну дугу, а центральный угол равен её градусной мере. Геометрическое построение с радиусами приводит к тому, что вписанный угол составляет половину центрального.
Могут ли два вписанных угла опираться на одну дугу?
Да, если вершины обоих углов расположены на окружности с одной стороны от этой дуги. Тогда углы равны, потому что каждый составляет половину градусной меры одной и той же дуги.
Как найти градусную меру дуги по вписанному углу?
Умножь градусную меру вписанного угла на 2. Например, углу 40° соответствует дуга 80°.
Как связаны касательная, хорда и вписанный угол?
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на соответствующую дугу. Если вместо него взять смежный угол, он будет опираться на другую дугу и окажется дополнительным до 180°.
109. Измерение углов, связанных с окружностью
