"Геометрия", Погорелов А.В.
Когда две хорды пересекаются внутри окружности, их отрезки связаны равенством произведений. Такое же правило помогает находить длины частей двух секущих, проведённых из одной внешней точки: внешний отрезок умножают на всю секущую. Эти соотношения превращают чертёж в уравнение и позволяют вычислять неизвестные длины. Главное — правильно определить, где находится точка пересечения, и не перепутать внешний, внутренний и полный отрезки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Если хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в точке P, точка P делит их на отрезки AP и PB, а также CP и PD. На чертеже удобно записать их парами: AP, PB — части первой хорды, CP, PD — части второй. Такое обозначение помогает не перепутать, какие части нужно перемножать.
Секущая окружности — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Если провести её из точки P, расположенной вне окружности, то отрезок от P до ближайшей точки окружности лежит снаружи и называется внешним. Часть между точками пересечения прямой с окружностью находится внутри круга и называется внутренней. Различать эти части нужно, чтобы верно записать соотношение.
Отрезки пересекающихся хорд — это части хорд, получившиеся после того, как их разделила точка пересечения. Например, для хорд AB и CD с точкой пересечения P одна пара частей — AP и PB, другая — CP и PD. На чертеже подпиши все четыре отрезка возле соответствующих частей. Тогда ясно, что сравниваются произведения частей одной хорды, а не произвольные длины.
Отрезки секущей из внешней точки обозначим так: от P до ближайшей точки окружности A — внешний отрезок PA, а от A до дальнейшей точки B — внутренний AB. Вся секущая PB включает обе части, поэтому PB = PA + AB. Для второй секущей, проходящей через точки C и D, внешний отрезок — PC, внутренний — CD, а полная длина — PD = PC + CD. Это обозначение позволяет не принять внутреннюю часть за всю секущую.
Пусть хорды AB и CD пересекаются внутри окружности в точке P. Тогда произведение AP на PB равно произведению CP на PD: AP · PB = CP · PD. Смысл равенства в том, что отрезки одной хорды образуют одну пару множителей, а отрезки другой — вторую. Например, если одна часть длиннее, соответствующая часть другой хорды может оказаться короче, но произведения останутся одинаковыми. Это позволяет по трём известным отрезкам найти четвёртый.
Равенство для хорд получается из подобия треугольников APC и DPB. Углы APC и DPB равны как вертикальные, потому что образованы пересекающимися прямыми. Углы PAC и BDP опираются на одну и ту же дугу BC, поэтому равны; так же равны углы ACP и DBP, опирающиеся на дугу AD. Значит, треугольники подобны, а отношение соответствующих сторон даёт AP / DP = CP / BP. После умножения крайних и средних членов получаем AP · BP = CP · DP.
Если из одной внешней точки P проведены секущие PAB и PCD, где A и C — ближайшие к P точки окружности, то PA · PB = PC · PD. Здесь PA и PC — внешние отрезки, а PB и PD — длины секущих целиком. Соотношение не сравнивает только части внутри окружности: в каждой паре один множитель — внешний отрезок, второй — вся секущая. Поэтому сначала важно определить обе границы каждой полной секущей.
Соотношение секущих также связано с подобием. Рассмотрим треугольники PBC и PDA: угол при P у них общий, а углы PBC и PDA равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу AC. Из подобия следует PA / PC = PD / PB, откуда после перемножения получаем PA · PB = PC · PD. В произведении появляется вся секущая PB или PD, потому что именно полная сторона соответствующего треугольника участвует в пропорции. Внутренняя часть сама по себе эту сторону не заменяет.
Чтобы выбрать правило, сначала найди на чертеже точку, в которой пересекаются линии. Если она находится внутри окружности и разделяет две хорды, используй равенство произведений частей хорд. Если линии начинаются в одной точке снаружи окружности, используй правило секущих: внешний отрезок умножается на всю секущую. Перед вычислениями обозначь внешние, внутренние и полные части, а при необходимости найди полную длину сложением.
| Случай | Какие отрезки обозначены | Соотношение | Положение точки |
|---|---|---|---|
| Две пересекающиеся хорды | AP и PB — части первой хорды; CP и PD — части второй | AP · PB = CP · PD | Точка P внутри окружности |
| Две секущие, проведённые из одной внешней точки | PA и PC — внешние отрезки; PB и PD — целые секущие | PA · PB = PC · PD | Точка P вне окружности |
Сначала выбери строку по положению точки P, а затем сверь обозначения отрезков со своим чертежом. Для секущих проверь, что второй множитель — полная длина, а не только внутренняя часть. Если полной длины нет в условии, сложи внешний и внутренний отрезки.
Задача 1. Две хорды пересекаются внутри окружности. Отрезки одной хорды равны 3 см и 8 см, один отрезок второй хорды равен 4 см. Найдите второй отрезок. Точка пересечения находится внутри окружности, поэтому используем правило для хорд. Обозначим неизвестный отрезок через x.
Ответ: второй отрезок равен 6 см. Проверка: произведения равны, 3 · 8 = 4 · 6 = 24.
Задача 2. Из точки вне окружности проведены две секущие. Внешний отрезок первой равен 4 см, а вся секущая — 12 см. Внешний отрезок второй равен 6 см. Найдите внутренний отрезок второй секущей. Неизвестно пока, сколько составляет вся вторая секущая, поэтому обозначим её длину через 6 + x, где x — внутренняя часть. В правило подставляем именно полные длины секущих.
Ответ: внутренний отрезок второй секущей равен 2 см. Её полная длина равна 6 + 2 = 8 см, а произведение 6 · 8 совпадает с 4 · 12.
Задача 3. Из внешней точки проведены две секущие. У первой внешний и внутренний отрезки равны 5 см и 7 см. У второй внешний отрезок равен 4 см. Найдите её внутренний отрезок. Для первой секущей сначала находим всю длину, складывая её части. Для второй пусть внутренний отрезок равен x, тогда полная секущая равна 4 + x.
Ответ: внутренний отрезок второй секущей равен 11 см. Проверка: полная вторая секущая равна 15 см, и 4 · 15 = 5 · 12 = 60.
При работе с хордами иногда складывают их части или приравнивают соответствующие отрезки. Так ошибаются, если воспринимают задачу как обычное сложение частей или ищут одинаковые длины на чертеже. Но правило для пересекающихся хорд связывает произведения: AP · PB = CP · PD. Проверь себя: в каждой части равенства должно стоять произведение двух отрезков одной хорды.
В теореме о секущих внешний отрезок иногда умножают только на внутренний. Путаница возникает потому, что обе части расположены на одной прямой и кажутся равноправными множителями. На самом деле внешний отрезок умножают на всю секущую, включая внешнюю и внутреннюю части. Сверь формулу с чертежом: у каждой секущей второй множитель должен начинаться во внешней точке и доходить до дальней точки окружности.
Ещё одна ошибка — принять внешний отрезок за полную секущую или забыть прибавить внутренний отрезок. Это часто случается, когда неизвестную часть обозначают буквой, но не записывают длину всего отрезка. Например, если внешний отрезок равен 4, а внутренний — x, полная секущая равна 4 + x. Перед подстановкой в формулу проверь, что полная длина охватывает оба отрезка.
Правило для хорд нельзя применять к точке вне окружности, а правило для секущих — к пересечению внутри окружности. Их формулы похожи тем, что в них есть произведения, поэтому легко выбрать не тот случай. Ошибку предотвращает проверка положения точки: внутри круга пересекаются две хорды, снаружи из одной точки выходят две секущие. Сначала определяй геометрию чертежа, потом записывай равенство.
Чтобы разбирать эту тему, нужно знать, что называют хордой и секущей, и уметь находить длину целого отрезка как сумму частей. Например, полная секущая складывается из внешнего и внутреннего отрезков. Доказательства соотношений опираются на подобие треугольников и свойства вписанных углов: равные углы помогают установить подобие. Позже эти правила пригодятся в задачах на длины отрезков и при изучении других свойств окружности.
Почему для пересекающихся хорд нужно перемножать отрезки?
Треугольники, которые образуются при пересечении хорд, подобны: у них равны вертикальные углы и пары вписанных углов. Из пропорции соответствующих сторон получается равенство произведений отрезков каждой хорды.
Как определить, какой отрезок секущей считается внешним?
Внешний отрезок идёт от точки вне окружности до ближайшей точки пересечения секущей с окружностью. Он лежит вне круга; часть между двумя точками пересечения с окружностью — внутренний отрезок.
Что нужно умножать на внешний отрезок секущей?
Внешний отрезок нужно умножать на длину всей секущей. Полная длина складывается из внешнего и внутреннего отрезков.
Как найти внутренний отрезок, если известны внешний и полная длина секущей?
Вычти внешний отрезок из полной длины секущей. Например, если вся секущая равна 12 см, а внешняя часть — 4 см, то внутренняя равна 12 − 4 = 8 см.
Можно ли применять теорему о секущих, если секущие выходят из разных точек?
Нет, это соотношение относится к двум секущим, проведённым из одной внешней точки. Если точки разные, равенство произведений из этой теоремы не следует.
108. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности
