107. Углы, вписанные в окружность

Определения и обозначения

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность ещё в двух точках. Эти точки являются концами дуги, на которую опирается угол; берут дугу, не содержащую вершину. Такое определение помогает сразу понять, какую часть окружности нужно учитывать при вычислениях.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его стороны проходят через точки окружности, а градусная мера угла равна мере дуги между этими точками. Центральный угол нужен, чтобы сравнивать дуги и связать их меру с вписанным углом.

Угол, опирающийся на дугу, — это вписанный угол, стороны которого проходят через концы этой дуги. Его вершина лежит на другой дуге той же окружности, то есть не на выбранной дуге. По этому уточнению удобно проверить, действительно ли для угла выбрана нужная дуга.

Как это устроено

Главная теорема утверждает: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Причина в том, что радиусы от центра к концам дуги образуют равнобедренные треугольники, а углы в них связаны с углами исходного треугольника. Поскольку центральный угол равен мере своей дуги, вписанный угол также равен половине меры этой дуги.

Сначала докажем теорему в случае, когда центр окружности лежит на одной из сторон вписанного угла. Обозначим вершину угла буквой A, центр — O, а точку пересечения другой стороны угла с окружностью — C. Радиусы OA и OC равны, поэтому треугольник AOC равнобедренный, а его углы при A и C равны. Внешний угол при O равен сумме этих двух углов, значит центральный угол вдвое больше вписанного.

Если центр не лежит на стороне угла, проведём через вершину A диаметр. Он разделит исходный угол на два угла, для каждого из которых центр окажется на одной из сторон. По уже доказанному случаю каждый из этих углов равен половине соответствующего центрального угла. Складывая части, получаем исходный вписанный угол, а центральные углы вместе составляют угол, опирающийся на ту же дугу.

Теперь рассмотрим два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу. Для каждого из них соответствующий центральный угол один и тот же, поскольку концы дуги совпадают. Значит, оба вписанных угла равны половине одного центрального угла и потому равны между собой. Так получают полезное следствие: положение вершин на окружности может различаться, но общая дуга задаёт одинаковую величину углов.

Если сторонами вписанного угла служат хорды, соединяющие вершину с концами диаметра, он опирается на полуокружность. Мера полуокружности равна 180°, поэтому вписанный угол равен 180° : 2 = 90°. Следовательно, треугольник, у которого одна сторона является диаметром окружности, а третья вершина лежит на окружности, прямоугольный.

Связь вписанного угла с дугой и центральным углом

Сначала определи, какая дуга указана, и проверь, где находится вершина угла. Затем выбери строку таблицы: по дуге можно найти вписанный угол, а по центральному углу — и дугу, и вписанный угол. Если опора — диаметр, сразу используй прямой угол.

Разбор задач

Задача 1

Вписанный угол опирается на дугу в 80°. Найдём его градусную меру. По теореме угол составляет половину меры дуги, поэтому здесь нужно разделить 80° на 2. Не умножай дугу на 2: это действие потребовалось бы, если бы искали дугу по углу.

1. Записываем меру дуги: 80°.
2. Делим её пополам: 80° : 2 = 40°.
3. Полученное значение указываем как меру вписанного угла.

Ответ: 40°.

Задача 2

Два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, один равен 37°. Требуется найти второй угол. Углы могут иметь разные вершины, но каждый опирается на одну общую дугу. Поэтому каждый равен половине её меры, а значит, углы равны.

1. Выбираем следствие теоремы: углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
2. Приравниваем второй угол к известному: 37°.

Ответ: 37°.

Задача 3

AB — диаметр окружности, C лежит на окружности. Сначала найдём угол ACB, а затем угол ABC, если угол CAB равен 28°. Так как ACB опирается на диаметр AB, он прямой. Теперь используем сумму углов треугольника, равную 180°.

1. По теореме об угле, опирающемся на диаметр: ∠ACB = 90°.
2. Записываем сумму углов: ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°.
3. Подставляем известные значения: ∠ABC = 180° − 28° − 90° = 62°.

Ответ: ∠ACB = 90°, ∠ABC = 62°.

Типичные ошибки

Первая ошибка — называть вписанным угол с вершиной внутри круга. Её допускают, потому что смотрят только на то, что стороны пересекают окружность, и забывают условие о вершине. Проверь положение вершины: она должна лежать именно на окружности, а не внутри круга.

Вторая ошибка — выбрать дугу, которая содержит вершину угла. Тогда для вычисления используется не та дуга, на которую опирается угол. Чтобы проверить себя, найди точки пересечения сторон с окружностью и выбери дугу между ними, не содержащую вершину.

Третья ошибка — умножить меру дуги на 2 вместо того, чтобы разделить пополам. Такое смешение возникает, если перепутать поиск угла с поиском дуги: дуга вдвое больше вписанного угла. Проверь направление вычисления: по дуге угол находят делением на 2, а по углу дугу — умножением на 2.

Четвёртая ошибка — считать равными любые вписанные углы одной окружности. Сам факт, что углы принадлежат одной окружности, не означает, что они опираются на одну дугу. Сравни концы дуг: углы равны, если опираются на одну и ту же дугу или на дуги равной меры.

Связь с другими темами

Для работы с вписанными углами нужны понятия окружности, радиуса, дуги, центрального угла и градусной меры угла. Доказательство использует свойства равнобедренного треугольника, а вычисления в треугольнике опираются на сумму его углов. Эти знания пригодятся в задачах об окружности, при доказательстве свойств треугольников и при изучении описанных и вписанных фигур.

Что запомнить

• Вершина вписанного угла лежит на окружности.
• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Угол, опирающийся на диаметр, прямой.