"Геометрия", Погорелов А.В.
Прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны: их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. Это позволяет находить неизвестные стороны и высоты, не измеряя их напрямую. Если провести высоту к гипотенузе, большой треугольник распадётся на два меньших, подобных ему и друг другу. Из этих подобий следуют простые соотношения: катет связан с гипотенузой и своей проекцией, а высота — с двумя отрезками гипотенузы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные прямоугольные треугольники — это прямоугольные треугольники, у которых равны соответствующие углы, а соответствующие стороны пропорциональны. Соответствующими называют углы и стороны, занимающие одинаковое положение в фигурах. Подобие позволяет переносить известные отношения сторон одного треугольника на другой и находить неизвестные длины.
Высота к гипотенузе — отрезок, проведённый из вершины прямого угла перпендикулярно гипотенузе. Точка, где высота встречает гипотенузу, называется основанием высоты. Высота делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника.
Проекция катета на гипотенузу — отрезок гипотенузы между её концом и основанием высоты. У каждого катета своя проекция, поэтому важно не перепутать, какой отрезок связан с каким катетом. Это название относится к части гипотенузы, а не к части самого катета.
Среднее пропорциональное — число x, для которого a:x = x:b. Это равенство можно переписать как x² = ab, поэтому для положительных длин x = √(ab). Такое понятие помогает коротко записывать отношения катетов, высоты и отрезков гипотенузы.
Пусть два прямоугольных треугольника имеют по одному равному острому углу. Их прямые углы тоже равны, потому что каждый составляет 90°. В каждом треугольнике сумма двух острых углов равна 90°, поэтому оставшиеся острые углы также равны. Получается равенство двух пар углов, а значит, треугольники подобны по признаку подобия по двум углам.
Обозначим прямоугольный треугольник ABC так, что угол C прямой, а AB — гипотенуза. Проведём из C высоту CD к AB и обозначим её основание буквой D. В треугольниках ACD и BCD углы при D прямые, ведь CD перпендикулярна AB. Каждый малый треугольник также имеет общий с исходным острый угол, поэтому подобен исходному; из равенства углов следует и подобие двух малых треугольников.
Рассмотрим катет AC и его проекцию AD. Из подобия ABC и ACD соответствуют стороны AC и AB, а также AD и AC. Поэтому AC:AB = AD:AC, откуда AC² = AB · AD. Для второго катета получается BC:AB = DB:BC, то есть BC² = AB · DB. Так каждый катет оказывается средним пропорциональным между всей гипотенузой и своей проекцией.
В малых треугольниках ACD и BCD катету CD соответствует отрезок AD в одном треугольнике и отрезок DB в другом. Из их подобия получаем AD:CD = CD:DB. Перемножив крайние и средние члены пропорции, имеем CD² = AD · DB. Значит, высота к гипотенузе — среднее пропорциональное между двумя отрезками, на которые эта высота делит гипотенузу.
Чтобы найти неизвестную длину, сначала выясни, какие именно отрезки связаны нужным соотношением, и только потом подставляй числа. Для катета используй его собственную проекцию и всю гипотенузу; для высоты — оба отрезка гипотенузы. Например, из x² = ab следует x = √(ab), если известны a и b, а если неизвестен один множитель, его можно найти делением. В конце проверь, что подобраны именно соответствующие отрезки и ответ имеет подходящую длину.
| Что сравниваем | Подобие или пропорция | Какие отрезки связаны |
|---|---|---|
| Прямоугольные треугольники с равным острым углом | Подобны по двум углам | Соответствующие углы равны, стороны пропорциональны |
| Исходный треугольник и треугольник с катетом и его проекцией | Подобны | Катет, гипотенуза, катет и его проекция |
| Два треугольника, образованные высотой к гипотенузе | Подобны | Высота и отрезки гипотенузы |
| Катет, гипотенуза и проекция катета | AC² = AB · AD; BC² = AB · DB | Катет, вся гипотенуза и проекция этого катета |
| Высота к гипотенузе и отрезки гипотенузы | CD² = AD · DB | Высота и оба отрезка гипотенузы |
Сначала найди в таблице нужный вид отрезка и запиши подходящее ему соотношение. В обозначениях таблицы AB — вся гипотенуза, AD и DB — её части, CD — высота. Если в задаче используются другие буквы, сопоставь отрезки по их роли, а не по названию.
В двух прямоугольных треугольниках равны по одному острому углу. Нужно определить, подобны ли треугольники, и указать соответствующие вершины. Назовём первый треугольник ABC, где угол C прямой, а второй — A₁B₁C₁, где угол C₁ прямой. Пусть равны острые углы A и A₁.
Ответ: треугольники подобны по двум углам; соответствующие вершины — A и A₁, B и B₁, C и C₁.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а проекция одного катета на неё — 9 см. Найдём этот катет. Здесь известна вся гипотенуза и именно проекция искомого катета, поэтому подходит соотношение «квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию».
Ответ: 15 см.
Высота к гипотенузе делит её на отрезки 4 см и 9 см. Нужно найти высоту и катеты треугольника. Сначала используем соотношение для высоты, затем находим гипотенузу как сумму двух отрезков и применяем соотношение для каждого катета.
Ответ: высота равна 6 см, катеты — 2√13 см и 3√13 см.
Считать треугольники подобными только потому, что оба они прямоугольные. У них уже равны прямые углы, но для подобия нужно установить равенство ещё одной пары углов. Это условие легко пропустить, потому что прямой угол заметен сразу. Проверь, указан ли равный острый угол или доказано ли его равенство.
Неверно сопоставлять стороны в пропорции. Порядок букв в записи сам по себе не доказывает, что стороны соответствуют друг другу. Ошибку допускают, когда сравнивают стороны только по расположению в строке. Сначала сопоставь равные углы, затем стороны напротив них и стороны между ними.
Путать катет с его проекцией на гипотенузу. Катет — сторона прямоугольного треугольника, а его проекция — часть гипотенузы от конца до основания высоты. Эти отрезки могут восприниматься как связанные и потому ошибочно подменяться один другим. Проверь, лежит ли выбранный отрезок на гипотенузе.
Применять формулу среднего пропорционального не к тем отрезкам. Катет связан с гипотенузой и своей проекцией, а высота — с двумя частями гипотенузы. Путаница возникает, если помнить формулу, но не учитывать смысл отрезков. Перед вычислением подпиши все части чертежа и проверь, к какой величине относится искомый отрезок.
Для доказательства подобия пригодятся признаки подобия треугольников, равенство углов и знание о том, что сумма углов треугольника равна 180°. Эти знания позволяют понять, почему равного острого угла достаточно именно для прямоугольных треугольников. Соотношения подобия помогают решать задачи на вычисление сторон и высот без непосредственного измерения. Дальше они станут основой для изучения метрических соотношений в прямоугольном треугольнике, то есть правил, связывающих длины его сторон и высот.
Достаточно ли равенства одного острого угла, чтобы доказать подобие прямоугольных треугольников?
Да, если оба треугольника прямоугольные. Их прямые углы равны, а второй острый угол в каждом дополняет известный до 90°, поэтому он тоже равен. Значит, треугольники подобны по двум углам.
Почему треугольники, образованные высотой к гипотенузе, подобны исходному?
Высота перпендикулярна гипотенузе, поэтому каждый из двух малых треугольников прямоугольный. У каждого есть ещё один острый угол, равный острому углу исходного треугольника. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
Что называют проекцией катета на гипотенузу?
Это отрезок гипотенузы от её конца до основания высоты, проведённой из вершины прямого угла. У каждого катета своя проекция: это один из двух отрезков, на которые высота делит гипотенузу.
Как определить, какие стороны нужно поставить в пропорцию?
Сначала сопоставь вершины с равными углами, а затем определи, какие стороны лежат напротив этих углов. В пропорции соответствующие стороны ставят в одинаковом порядке. Проверить выбор можно по равенству отношений соответствующих сторон.
Как найти высоту к гипотенузе, если известны два отрезка гипотенузы?
Обозначь отрезки гипотенузы через a и b, а высоту — через h. По подобию малых треугольников h является средним пропорциональным: a:h = h:b, поэтому h² = ab и h = √(ab).
106. Подобие прямоугольных треугольников
