105. Признак подобия треугольников по трём сторонам

Определения и обозначения

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иначе говоря, их форма одинакова, но размер может различаться. Это понятие позволяет переносить свойства одного треугольника на другой и вычислять неизвестные длины.

Соответствующие стороны — стороны, которые сопоставлены друг другу по соответствию вершин. Например, если вершины A и D соответствуют, B и E соответствуют, а C и F соответствуют, то AB и DE — соответствующие стороны. Такое сопоставление нужно, чтобы сравнивать именно одинаково расположенные части треугольников.

Коэффициент подобия — общее отношение длин соответствующих сторон двух подобных треугольников. Если стороны первого треугольника стоят в числителе, коэффициент равен отношению стороны первого к соответствующей стороне второго. Он показывает, во сколько раз длины одного треугольника больше или меньше длин другого, и зависит от порядка сравнения.

Признак подобия треугольников по трём сторонам — правило, позволяющее установить подобие по длинам сторон. Нужно проверить, что три пары соответствующих сторон пропорциональны. Признак удобен, когда длины известны, а углы сравнивать трудно или вовсе не требуется.

Как это устроено

Признак формулируется так: если стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого, то треугольники подобны. Например, для сторон a, b, c и a₁, b₁, c₁ условие записывают так: a/a₁ = b/b₁ = c/c₁. Равные отношения означают, что при переходе от одного треугольника к другому каждая сторона увеличивается или уменьшается в одно и то же число раз. Поэтому форма сохраняется, а меняется только размер.

Для проверки необходимо правильно выбрать, какие стороны сравнивать. Если вершины A, B, C сопоставлены соответственно вершинам D, E, F, то AB сравнивают с DE, BC — с EF, а CA — с FD. Именно такие пары лежат между соответствующими вершинами. Если переставить стороны случайно, равные отношения могут не получиться или проверка будет относиться к другому соответствию, поэтому сначала устанавливают соответствие вершин.

Практическая проверка состоит из нескольких действий: запишите пары соответствующих сторон, составьте три отношения и вычислите каждое. Затем сравните результаты: они должны быть одним и тем же числом. Можно записывать все дроби в одном направлении, например стороны первого треугольника делить на соответствующие стороны второго. Если хотя бы одно отношение отличается, признак в таком соответствии не выполнен.

Идея доказательства объясняет, почему достаточно трёх сторон. Строят новый треугольник, подобный первому по двум сторонам и углу между ними, выбирая его размер так, чтобы две стороны совпали с двумя сторонами второго треугольника. У построенного треугольника третья сторона пропорциональна третьей стороне исходного. По условию эта пропорция такая же, как у второго треугольника, поэтому третья сторона построенного треугольника совпадает с третьей стороной второго.

Значит, полученный треугольник и второй имеют равные три стороны, а такие треугольники равны. Следовательно, второй треугольник подобен первому. Так пропорциональность сторон приводит к подобию без предварительного сравнения углов: равенство соответствующих углов следует из подобия, а не проверяется отдельно.

Признак подобия треугольников по трём сторонам

Таблица помогает последовательно проверить условие признака. Сначала определите пары соответствующих сторон, затем сравните каждую пару в одном и том же направлении. В строке результата запишите вывод только после проверки всех трёх отношений.

Разбор задач

Задача 1. У треугольников стороны равны 3, 4, 5 и 6, 8, 10. Нужно определить, подобны ли они. Поскольку соответствие не указано, сопоставим стороны по возрастанию. Так проще сравнить стороны одинакового порядка.

1. Записываем пары: 3 и 6, 4 и 8, 5 и 10.
2. Вычисляем отношения сторон второго треугольника к сторонам первого: 6/3 = 2, 8/4 = 2, 10/5 = 2.
3. Все три отношения равны, значит, выполнено условие признака по трём сторонам.

Ответ: треугольники подобны, коэффициент второго к первому равен 2. Каждая сторона второго треугольника вдвое длиннее соответствующей стороны первого.

Задача 2. Стороны одного треугольника равны 5, 7, 9, а соответствующие стороны другого — 10, 14, 18. Требуется установить подобие и найти коэффициент. Слово «соответствующие» означает, что пары уже заданы именно в перечисленном порядке.

1. Сравниваем стороны второго треугольника со сторонами первого: 10/5 = 2, 14/7 = 2, 18/9 = 2.
2. Общий результат для всех трёх пар один и тот же, поэтому выполняется признак подобия.
3. Так как в числителе стоят стороны второго треугольника, коэффициент второго к первому равен 2. При обратном порядке он был бы равен 1/2.

Ответ: треугольники подобны, коэффициент второго к первому равен 2. Проверка всех пар нужна, чтобы убедиться, что одинаковый масштаб действует не только для двух сторон, но и для третьей.

Задача 3. Стороны ABC равны 4, 6, 8, а стороны DEF — 9, 6, 12. Проверим, можно ли сравнивать их в указанном порядке. Если считать пары именно как 4 и 9, 6 и 6, 8 и 12, отношения не совпадут.

1. При указанном порядке получаем 4/9, 6/6 и 8/12. Эти значения различны, поэтому в таком соответствии признак не выполнен.
2. Так как соответствие сторон не задано, упорядочиваем длины каждого треугольника по возрастанию: 4, 6, 8 и 6, 9, 12.
3. Сравниваем соответствующие по длине стороны: 6/4 = 9/6 = 12/8 = 3/2. Значит, можно сопоставить стороны так, чтобы все три отношения совпали.

Ответ: в первоначальном порядке стороны соответствующими считать нельзя, но треугольники подобны при правильной перестановке пар. Их коэффициент от ABC к DEF равен 3/2.

Типичные ошибки

• Сравнивают стороны не в соответствующем порядке. Ошибка возникает, когда длины записывают без учёта вершин или сопоставляют их наугад. Проверьте, что каждая пара сторон соединяет соответствующие вершины; если соответствие не задано, сопоставьте длины по возрастанию.
• Проверяют только две пары сторон. Две одинаковые пропорции ещё не говорят, что третья сторона изменена в том же масштабе. Для самопроверки выпишите все три пары и не делайте вывод, пока не вычислите каждое отношение.
• Путают коэффициент подобия с обратным ему числом. Это происходит, если при делении меняют местами стороны треугольников. Укажите, стороны какого треугольника стоят в числителе: обратный порядок даёт обратный коэффициент.
• Считают достаточными равенство периметров или одной-двух сторон. Такие сведения сами по себе не подтверждают пропорциональность всех трёх пар. Проверьте три отношения: периметры могут подсказать масштаб, но не заменяют проверку условия признака.

Связь с другими темами

Чтобы применять признак, нужно знать определение подобных треугольников и уметь находить отношения чисел и составлять пропорции. Полезно также понимать связь равенства углов с подобием: признак по двум сторонам и углу между ними используется в идее доказательства. После установления подобия можно находить неизвестные стороны по коэффициенту. Этот же подход встречается в задачах о масштабе и геометрических построениях.

Что запомнить

• Сравнивают три пары соответствующих сторон.
• Все три отношения должны быть равны.
• Соответствие сторон нужно указать до составления пропорций.
• При выполнении условия треугольники подобны.
• Коэффициент подобия — общее отношение соответствующих сторон.
• Обратный порядок треугольников в отношениях даёт обратный коэффициент.