"Геометрия", Погорелов А.В.
Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером. Чтобы доказать их подобие, иногда достаточно сравнить две пары соответствующих сторон и углы между ними: стороны должны быть пропорциональны, а включённые углы — равны. Этот признак помогает устанавливать подобие без измерения всех сторон и углов. После доказательства можно составить пропорцию для остальных сторон и находить неизвестные длины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Иначе говоря, их форма одинакова, хотя размеры могут быть разными. Понятие подобия позволяет переносить известные отношения сторон с одного треугольника на другой.
Соответствующие стороны — стороны треугольников, лежащие напротив равных углов или соединяющие соответствующие вершины. Например, если вершины A и A′, B и B′, C и C′ соответствуют друг другу, то AB соответствует A′B′. Такое сопоставление нужно, чтобы не составить пропорцию между сторонами, которые занимают разные положения.
Коэффициент подобия — число, равное отношению каждой стороны одного треугольника к соответствующей стороне другого. Если сравниваем стороны ABC со сторонами A′B′C′, коэффициент можно записать как AB/A′B′. Он показывает, во сколько раз длины сторон одного треугольника больше или меньше соответствующих сторон другого.
Признак подобия по двум сторонам и углу между ними — условие, по которому можно установить подобие, сравнив две пары сторон и углы между ними. Если стороны пропорциональны, а заключённые между ними углы равны, треугольники подобны. Это избавляет от необходимости отдельно проверять все остальные углы и стороны.
В каждом треугольнике сначала выбирают две стороны и угол, заключённый между ними. Например, у треугольника ABC стороны AB и AC образуют угол A, а у A′B′C′ стороны A′B′ и A′C′ образуют угол A′. Сравнивать нужно именно такие пары: тогда угол описывает взаимное положение выбранных сторон. Если взять другой угол, он может не задавать их расположение.
Затем проверяют, равны ли отношения соответствующих сторон: AB/A′B′ должно равняться AC/A′C′. Это означает, что при увеличении или уменьшении одного треугольника обе выбранные стороны меняются в одинаковое число раз. Равенство включённых углов обеспечивает одинаковый наклон этих сторон друг к другу. Поэтому построенные треугольники имеют одну форму, но могут иметь разный размер.
Именно включённый угол делает условие достаточным. Если известны две стороны и угол, который не лежит между ними, форма может определяться неоднозначно: при тех же данных иногда получаются треугольники разной формы. Поэтому нельзя заменять угол между пропорциональными сторонами любым другим равным углом. Перед применением признака полезно отметить, какими двумя сторонами образован данный угол.
Идею доказательства можно понять через равенство треугольников. Один треугольник мысленно увеличивают или уменьшают так, чтобы одна его выбранная сторона совпала по длине с соответствующей стороной другого. Из пропорциональности следует, что совпадут и вторые выбранные стороны, а включённые углы равны. Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, значит, исходные треугольники отличаются только масштабом и подобны.
В задаче сначала устанавливают, какие вершины соответствуют друг другу, и записывают пары сторон в одном порядке. Затем проверяют равенство отношений сторон и равенство углов между ними. Если оба условия выполнены, записывают вывод о подобии, а остальные соответствующие стороны включают в пропорцию. Так можно найти неизвестную длину, не измеряя её напрямую.
| Элемент признака | Первый треугольник | Второй треугольник |
|---|---|---|
| Выбранные стороны | AB и AC | A′B′ и A′C′ |
| Угол между выбранными сторонами | ∠A | ∠A′ |
| Условие пропорциональности сторон | AB/A′B′ = AC/A′C′ | Один и тот же коэффициент подобия |
| Условие равенства углов | ∠A = ∠A′ | Включённые углы равны |
| Вывод | △ABC и △A′B′C′ подобны | |
| Следствие | BC/B′C′ равно тому же коэффициенту | |
Сначала найди в таблице выбранные стороны и убедись, что указанные углы образованы именно ими. Затем проверь равенство отношений и углов. После вывода о подобии можно составлять пропорцию для третьих сторон.
Дано: AB = 6 см, AC = 8 см, A′B′ = 9 см, A′C′ = 12 см, ∠A = ∠A′ = 50°. Нужно определить, подобны ли ABC и A′B′C′, и найти коэффициент подобия. Сопоставим AB с A′B′, а AC с A′C′, поскольку обе пары прилегают к равным углам. Сравнение этих отношений проверит условия признака.
Ответ: треугольники подобны; коэффициент подобия ABC к A′B′C′ равен 2/3. Если поменять порядок треугольников, коэффициент будет обратным — 3/2. Направление отношения нужно указывать явно, чтобы не перепутать коэффициент.
Дано: ∠A = ∠D, AB = 5 см, AC = 7 см, DE = 10 см, DF = x см; треугольники ABC и DEF подобны. Нужно найти x. По равным углам A и D вершины A и D соответствуют, а стороны AB и AC сопоставляются со сторонами DE и DF. Используем один и тот же порядок отношений для обеих пар.
Ответ: DF = 14 см. Здесь коэффициент от ABC к DEF равен 1/2, поэтому сторона DEF вдвое длиннее соответствующей стороны ABC. Равенство углов уже дано, а соответствие сторон определено по вершинам.
Дано: в треугольниках ADE и ABC угол A общий, AD = 8 см, AB = 12 см, AE = 10 см, AC = 15 см, BC = 9 см. Нужно доказать подобие треугольников и найти DE. Стороны AD и AE образуют общий угол A; в большом треугольнике этому углу прилегают AB и AC. Проверим отношения именно этих сторон.
Ответ: △ADE ∼ △ABC, DE = 6 см. Проверка соответствия важна: меньшему треугольнику ADE соответствует больший ABC, поэтому отношение DE/BC должно совпасть с отношением AD/AB. Найденная длина этому отношению соответствует.
Сравнение несоответствующих сторон приводит к неверной пропорции. Так бывает, если ученик ориентируется только на близкие обозначения, а не на соответствие вершин и углов. Перед вычислениями выпиши пары сторон и проверь, что они занимают одинаковое положение в треугольниках.
Иногда за нужный принимают угол, который не заключён между выбранными сторонами. В результате проверены не те элементы, которых требует признак, и вывод о подобии не обоснован. Проведи мысленно линии вдоль двух сравниваемых сторон: искомый угол должен находиться между ними. Если он расположен напротив или рядом с другой парой сторон, условие не выполнено.
Ещё одна ошибка — считать достаточными две равные стороны и равный угол, не проверяя пропорциональность сторон. Признак требует не равенства сторон, а равенства их отношений в двух треугольниках. Запиши обе дроби и сравни их; только после этого переходи к выводу. Равные длины сами по себе не гарантируют нужного подобия.
При составлении нескольких пропорций иногда меняют направление отношения: одну сторону делят на соответствующую, а следующую — наоборот. Так коэффициенты становятся взаимно обратными и вычисления противоречат друг другу. Выбери порядок треугольников один раз и сохраняй его во всех дробях. Если коэффициент меньше 1 для первого порядка, обратный порядок должен дать число больше 1.
Для понимания признака нужно уметь распознавать угол между сторонами, пользоваться пропорциями и знать равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. Доказанное подобие помогает находить неизвестные отрезки, когда длины соответствующих сторон связаны одним коэффициентом. Позже этот способ применяется в задачах на пропорциональные отрезки, параллельные прямые, высоты и расстояния. Поэтому важно не только вычислять, но и правильно устанавливать соответствие вершин.
Почему в признаке требуется именно угол между двумя сторонами?
Включённый угол показывает, как расположены выбранные стороны относительно друг друга. При одинаковом угле и пропорциональных прилежащих сторонах форма треугольников определяется однозначно с точностью до масштаба.
Можно ли применить признак, если равны два угла, но стороны не пропорциональны?
Этот признак требует пропорциональности двух пар сторон и равенства углов между ними. Однако равенство двух углов в треугольниках — отдельное достаточное условие подобия, даже без предварительной проверки пропорциональности сторон.
Как правильно определить, какие стороны являются соответствующими?
Сначала сопоставь равные углы и соответствующие им вершины. Затем сравни стороны, которые лежат напротив этих углов или соединяют соответствующие вершины.
В каком порядке записывать коэффициент подобия?
Выбери порядок треугольников и придерживайся его во всех отношениях. Например, если записываешь стороны ABC к соответствующим сторонам A′B′C′, то используй один порядок: AB/A′B′, AC/A′C′ и BC/B′C′.
Что делать, если в условии дан общий угол двух треугольников?
Укажи, что этот угол равен сам себе, и проверь, образован ли он сторонами, отношения которых сравниваются. Если стороны пропорциональны, можно применить признак подобия по двум сторонам и углу между ними.
104. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
