103. Признак подобия треугольников по двум углам

Определения и обозначения

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Это значит, что фигуры имеют одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер. Понятие подобия помогает сравнивать треугольники и находить неизвестные стороны.

Соответствующие углы — углы двух треугольников, которые сопоставляются друг другу. Например, если ∠A = ∠A₁, а ∠B = ∠B₁, то вершины A и A₁, B и B₁ соответствуют. Такое сопоставление нужно, чтобы правильно записать подобие и не перепутать стороны.

Соответствующие стороны — стороны, лежащие напротив соответствующих углов. Если вершинам A и A₁ соответствуют вершины A и A₁, то сторона BC напротив угла A соответствует стороне B₁C₁ напротив угла A₁. Именно эти стороны сравнивают в пропорциях.

Признак подобия треугольников по двум углам гласит: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. Поэтому для доказательства не требуется заранее сравнивать стороны. Достаточно точно установить соответствие двух пар углов.

Как это устроено

У каждого треугольника сумма углов равна 180°. Поэтому если известны две пары равных углов, третий угол в каждом треугольнике равен 180° минус сумма двух известных углов. Полученные третьи углы тоже равны, и все три пары углов оказываются равными.

Чтобы определить соответствие вершин, сначала запиши равные углы парами: например, ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Тогда оставшиеся вершины C и C₁ также соответствуют. Запись △ABC ∼ △A₁B₁C₁ означает именно такой порядок вершин, поэтому менять буквы местами нельзя.

Каждая сторона лежит напротив своего угла: BC — напротив ∠A, AC — напротив ∠B, AB — напротив ∠C. Значит, при установленном соответствии вершин сторонам BC, AC и AB соответствуют B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁. Проверка по противоположным углам помогает избежать ошибочных пропорций.

Равенство соответствующих углов означает, что треугольники имеют одну и ту же форму. При этом один треугольник может быть увеличенной или уменьшенной копией другого: все его соответствующие стороны изменяются в одинаковое число раз. Поэтому после установления подобия соответствующие стороны пропорциональны.

В доказательстве сначала назови две пары равных углов и укажи, почему они равны: например, по условию, как вертикальные или как углы при параллельных прямых. Затем проверь порядок соответствующих вершин и запиши вывод о подобии по признаку. Если в задаче нужно найти длину, после этого составь пропорцию для соответствующих сторон.

Параллельная прямая может создать внутри треугольника меньший треугольник с тем же углом при общей вершине. Ещё одна пара углов равна, потому что прямая параллельна стороне исходного треугольника, а соответствующие или накрест лежащие углы равны. По признаку меньший треугольник подобен исходному, и пропорциональность их сторон следует из подобия.

Признак подобия треугольников по двум углам

Пользуйся таблицей так: сначала найди и запиши две пары равных углов, затем проверь соответствие вершин. После этого можно заключить о подобии и составить пропорцию сторон в том же порядке. Третью пару углов можно обосновать суммой углов треугольника.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ равны, углы B и B₁ равны. Определить, подобны ли треугольники.

1. Записываем данные: ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁.
2. Пары углов соответствуют по порядку, поэтому вершине C соответствует C₁.
3. Две пары соответствующих углов равны, значит, применяем признак подобия по двум углам.

Ответ: △ABC ∼ △A₁B₁C₁. Следовательно, стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ пропорциональны.

Задача 2. В треугольниках известны равные углы A и A₁, а также ∠B = 48° и ∠B₁ = 48°. Найти третий угол каждого треугольника и установить подобие.

1. Так как ∠A = ∠A₁, обозначим их общей величиной α.
2. В каждом треугольнике сумма углов равна 180°, поэтому ∠C = 180° − α − 48°, а ∠C₁ = 180° − α − 48°.
3. Значит, ∠C = ∠C₁; вместе с равенством углов A и A₁ или B и B₁ это даёт две пары равных соответствующих углов.
4. Применяем признак подобия по двум углам.

Ответ: третьи углы равны и составляют 132° − α; △ABC ∼ △A₁B₁C₁ при указанном соответствии вершин.

Задача 3. В △ABC проведена прямая DE, параллельная BC; D лежит на AB, E — на AC. Доказать подобие △ADE и △ABC и записать пропорции сторон.

1. У треугольников общий угол при A: ∠DAE = ∠BAC, поскольку лучи AD и AB, а также AE и AC лежат на одних прямых.
2. Так как DE ∥ BC, углы ∠ADE и ∠ABC равны как соответствующие углы при параллельных прямых.
3. Получили две пары равных соответствующих углов, поэтому по признаку △ADE ∼ △ABC. Соответствие вершин: A ↔ A, D ↔ B, E ↔ C.

Ответ: AD/AB = AE/AC = DE/BC. Если известны длины сторон, эту пропорцию можно использовать для нахождения неизвестной.

Типичные ошибки

Считать треугольники подобными по равенству только одной пары углов — недостаточно: форма ещё не установлена. Так ошибаются, когда принимают один общий угол за полное доказательство. Проверь себя: должны быть названы две пары соответствующих равных углов.

Сопоставлять вершины в произвольном порядке — значит рисковать поставить в пропорцию несоответствующие стороны. Это происходит, если записать подобие, не разобравшись, какие углы равны. Проверь порядок букв и для каждой стороны найди противоположный ей угол.

Третьи углы не нужно считать дополнительным условием признака. Их равенство выводится из того, что сумма углов каждого треугольника равна 180°. Проверь рассуждение: если две пары углов уже равны, третья пара следует из суммы, а не требует новых данных.

Подобие иногда путают с равенством треугольников, потому что обе фигуры имеют одинаковую форму. Но при подобии размеры могут отличаться, а соответствующие стороны лишь пропорциональны. Проверь себя: равенство требует равенства сторон, а признак по двум углам такого не утверждает.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать, что сумма углов треугольника равна 180°. Также пригодятся свойства углов при параллельных прямых: они позволяют находить равные углы в чертеже. Эти знания помогают обосновать условие для применения признака.

Тема опирается на определение подобных треугольников: равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон. Признак по двум углам позволяет установить подобие, не сравнивая заранее длины сторон. После этого можно записывать отношения соответствующих сторон.

Признак используют в доказательствах и задачах на нахождение неизвестных длин. Особенно часто он помогает, когда в треугольнике проведена прямая, параллельная одной из его сторон. Тогда равенство углов связывает меньший треугольник с исходным.

Что запомнить

• Для применения признака достаточно двух пар равных соответствующих углов.
• Третья пара углов равна вследствие того, что сумма углов каждого треугольника равна 180°.
• Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны.
• При записи подобия порядок вершин должен показывать соответствие углов.
• У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны.