"Геометрия", Погорелов А.В.
Подобие фигур описывает преобразование, при котором все расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это позволяет сравнивать фигуры одинаковой формы, даже если они имеют разные размеры, и находить неизвестные длины по известным. Число, показывающее, во сколько раз изменились расстояния, называют коэффициентом подобия. Он всегда положителен: при значении больше 1 фигура увеличивается, а при значении меньше 1 — уменьшается.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование подобия — это такое преобразование, при котором расстояния между любыми двумя точками изменяются в одно и то же число раз. Например, если одна пара точек стала дальше вдвое, то и расстояние между любой другой парой должно увеличиться вдвое. Это определение помогает понять, сохраняется ли общая форма фигуры.
Коэффициент подобия — положительное число, равное отношению расстояния между образами точек к расстоянию между исходными точками. Если исходное расстояние равно 3 см, а расстояние между образами — 6 см, коэффициент равен 6 : 3 = 2. По нему можно определить, увеличиваются или уменьшаются размеры.
Подобные фигуры — фигуры, одна из которых получается из другой преобразованием подобия. Значит, все расстояния в одной фигуре связаны с расстояниями в другой одним коэффициентом. Это понятие нужно, чтобы сравнивать фигуры одной формы, даже когда их размеры различаются.
Соответствующие точки и отрезки — это исходные точки и их образы, а также отрезки, соединяющие такие пары точек. Например, если точка A переходит в A′, то A и A′ — соответствующие точки. По соответствующим отрезкам сравнивают расстояния до и после преобразования и проверяют, действует ли один коэффициент.
При преобразовании каждой точке фигуры ставится в соответствие её образ. Для любой пары исходных точек сравнивают расстояние между ними с расстоянием между их образами. Преобразование называется подобием, только если отношение этих расстояний одно и то же для всех пар. Благодаря этому изменяется не отдельная часть фигуры, а все её размеры согласованно.
Коэффициент показывает направление изменения размера. Если он больше единицы, расстояния между образами становятся больше исходных, поэтому фигура увеличивается. Если коэффициент находится между нулём и единицей, расстояния сокращаются, и фигура уменьшается. При коэффициенте 1 расстояния не меняются, потому что каждое из них умножается на единицу.
Подобие сохраняет форму, потому что все длины изменяются с одним и тем же коэффициентом. Например, если два отрезка имели длины 4 см и 6 см, а коэффициент равен 2, их новые длины будут 8 см и 12 см. Отношение длин осталось прежним: 4 : 6 = 8 : 12. Поэтому пропорции частей фигуры не нарушаются.
Чтобы распознать подобие по заданному соответствию точек, сначала выясняют, какие точки и отрезки соответствуют друг другу. Затем для нескольких пар находят отношение расстояния после преобразования к расстоянию до него. Если получаются разные числа, это соответствие не задаёт подобие. Для настоящего преобразования подобия одно и то же отношение должно выполняться для всех пар точек.
Подобие не означает, что фигуры равны. У равных фигур совпадают и форма, и размеры, поэтому соответствующие расстояния одинаковы. У подобных фигур форма сохраняется, но все расстояния могут быть умножены на коэффициент, отличный от 1. Таким образом, равные фигуры можно считать частным случаем подобия с коэффициентом 1.
| Характеристика | До преобразования | После преобразования |
|---|---|---|
| Расстояние между соответствующими точками | Исходное расстояние d | Расстояние k · d |
| Отношение соответствующих расстояний | Исходное расстояние сравнивают с образом | Для всех пар равно одному коэффициенту k |
| Форма фигуры | Исходная форма | Сохраняется |
| Размер фигуры при коэффициенте больше 1 | Исходный размер | Увеличивается |
| Размер фигуры при коэффициенте от 0 до 1 | Исходный размер | Уменьшается |
В таблице буква k обозначает коэффициент подобия, а d — исходное расстояние. Сравнивай расстояния до и после преобразования: их отношение должно быть одинаковым для каждой пары точек. По значению k можно сразу определить, увеличилась фигура или уменьшилась.
Задача 1. На рисунке отрезок длиной 3 см при преобразовании подобия перешёл в отрезок длиной 6 см. Найти коэффициент подобия. Сначала определим, какая длина исходная, а какая получена после преобразования. Коэффициент — это отношение длины образа к исходной длине.
Ответ: коэффициент подобия равен 2. Он больше единицы, значит, расстояния увеличились.
Задача 2. У треугольника две стороны длиной 4 см и 7 см. При преобразовании подобия их образы имеют длины 8 см и 14 см. Проверить, согласуются ли данные с одним коэффициентом. Нужно сравнить каждую исходную длину с длиной её образа, не меняя порядок соответствия. Если отношения совпадут, обе пары согласуются с одним масштабом.
Ответ: данные согласуются с коэффициентом подобия 2. Это проверка только указанных отрезков; чтобы подтвердить подобие целых фигур, требуется одинаковое отношение для всех пар точек.
Задача 3. Даны две фигуры и соответствие их вершин. Для нескольких пар вершин указаны расстояния до и после преобразования. Определить, может ли это соответствие задавать преобразование подобия, и найти его коэффициент. В условии конкретные расстояния не приведены, поэтому проверку выполняют по указанным значениям. Для каждой пары важно брать образ и исходное расстояние в правильном порядке.
Ответ: соответствие может задавать преобразование подобия, если все проверенные отношения одинаковы; коэффициент равен этому общему отношению. Если отношения различаются, подобрать один коэффициент нельзя.
Первая ошибка — делить исходную длину на длину образа. Так получают обратное отношение, потому что коэффициент по определению находят как образ, делённый на исходную величину. Путаница возникает, если не отметить, какая длина была до преобразования. Для самопроверки подпиши обе длины и убедись, что при увеличении получился коэффициент больше 1.
Вторая ошибка — проверить только одну пару расстояний и сразу объявить фигуры подобными. Одна пара помогает найти предполагаемый коэффициент, но не подтверждает, что он подходит для остальных точек. Ученик может принять совпадение за доказательство. Проверь несколько пар, а в определении помни: коэффициент должен работать для любых двух точек.
Третья ошибка — считать подобные фигуры обязательно равными. Так происходит, если слово «одинаковые» понимать как «одинакового размера», хотя при подобии может меняться масштаб. Сравни соответствующие длины: если они отличаются в одном и том же числе раз, фигуры могут быть подобными, но не равными. Равенство размеров соответствует коэффициенту 1.
Четвёртая ошибка — допускать отрицательный коэффициент. Его иногда получают, если считают длину направленной величиной, но расстояние не бывает отрицательным. Коэффициент — отношение положительных расстояний, поэтому он тоже положителен. Если в вычислении вышел минус, проверь порядок деления и использованные величины.
Для изучения подобия нужно уметь находить расстояние между точками и длину отрезка, а также сравнивать величины отношением. Эти навыки позволяют правильно сопоставлять исходные расстояния и расстояния между образами. Позже подобие будет применяться при изучении подобия треугольников и пропорциональных отрезков. С его помощью можно находить неизвестные длины в геометрических задачах.
Что такое преобразование подобия?
Это преобразование, которое каждой точке сопоставляет точку-образ и изменяет расстояния между любыми двумя точками в одно и то же число раз. Поэтому форма фигуры сохраняется, хотя её размер может измениться.
Как найти коэффициент подобия?
Нужно разделить расстояние между образами точек на расстояние между соответствующими исходными точками. Например, если отрезок 3 см перешёл в отрезок 6 см, коэффициент равен 6 : 3 = 2.
Может ли коэффициент подобия быть меньше единицы?
Да. Коэффициент больше нуля, но меньше 1, означает, что расстояния уменьшились. Например, при коэффициенте ½ каждый отрезок становится вдвое короче.
Чем подобные фигуры отличаются от равных?
У равных фигур совпадают и форма, и размеры. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но их размеры могут быть разными.
Достаточно ли проверить одну пару соответствующих отрезков?
Нет. Одна пара позволяет найти предполагаемый коэффициент, но не доказывает, что преобразование является подобием. Один и тот же коэффициент должен связывать расстояния между любыми парами соответствующих точек.
102. Подобие фигур
