"Геометрия", Погорелов А.В.
Преобразование подобия меняет размер геометрической фигуры, сохраняя её форму. При нём расстояния между любыми точками умножаются на одно и то же положительное число k — коэффициент подобия. Поэтому длины соответствующих отрезков изменяются в одинаковое число раз, а величины углов остаются прежними. Эти свойства помогают сравнивать фигуры, находить неизвестные стороны и понимать, как устроено масштабирование чертежей и изображений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование подобия — соответствие точек плоскости, при котором расстояния между любыми двумя точками изменяются в одно и то же число раз. Например, все расстояния могут увеличиться втрое или уменьшиться вдвое. Это определение нужно, чтобы отличать подобие от произвольного изменения фигуры, при котором её части меняются по-разному.
Коэффициент подобия — положительное число k, равное отношению расстояния между образами двух точек к расстоянию между самими точками. Если точки A и B переходят в A′ и B′, то A′B′/AB = k. Число k показывает, во сколько раз изменился размер: оно одно и то же для каждой пары точек.
Образ и прообраз — исходная точка, фигура или отрезок называется прообразом, а полученный после преобразования — образом. Например, если отрезок AB переходит в A′B′, то AB — прообраз, а A′B′ — образ. Это различие помогает правильно записывать отношение длин и не перепутать, что на что преобразуют.
Подобные фигуры — фигуры, одна из которых получается из другой преобразованием подобия. Их размеры могут быть разными, но соотношение частей сохраняется. Понятие нужно, чтобы сравнивать форму фигур и находить неизвестные длины по известным соответствиям.
Для любых точек A и B отношение A′B′/AB равно одному и тому же числу k. Это не совпадение: постоянство отношения входит в определение преобразования подобия. Поэтому, выбрав разные пары точек, мы каждый раз получим один масштаб изменения. Если бы отношение менялось, одна часть фигуры увеличивалась бы сильнее другой, и форма могла бы исказиться.
Отрезок состоит из двух концов, а его длина — это расстояние между ними. Когда концы A и B переходят в A′ и B′, расстояние A′B′ по определению подобия в k раз больше или меньше AB. Значит, длина образа равна k, умноженному на длину исходного отрезка: A′B′ = k · AB. Например, при k = 2 отрезок длиной 3 см получает образ длиной 6 см.
Угол образован двумя лучами с общей вершиной. При преобразовании подобия вершина и точки на лучах переходят в соответствующие точки, а равномерное изменение всех расстояний не меняет взаимного раскрытия лучей. Можно представить, что фигуру равномерно увеличили или уменьшили: направление её сторон и форма углов остались прежними. Поэтому образ угла имеет ту же величину, что и исходный угол.
Прямая переходит в прямую, потому что её точки остаются расположенными вдоль одного направления: равномерный масштаб не изгибает линию. Если две прямые параллельны, они не пересекаются и имеют одинаковое направление. Преобразование подобия сохраняет это направление, поэтому образы таких прямых тоже параллельны. Это свойство полезно при рассуждениях о фигурах, содержащих параллельные стороны.
Изменение сторон в одинаковое число раз и сохранение углов объясняют связь подобия фигур с преобразованием подобия. У соответствующих углов величины равны, а длины соответствующих сторон относятся как k. Следовательно, форма фигуры сохраняется, хотя её размер может измениться. Если k больше 1, образ крупнее прообраза; если k меньше 1, образ меньше.
| Элемент или характеристика | Как изменяется |
|---|---|
| Расстояние между двумя точками | Умножается на k |
| Длина отрезка | Умножается на k |
| Величина угла | Сохраняется |
| Прямая | Переходит в прямую |
| Параллельные прямые | Переходят в параллельные прямые |
| Соответствующие стороны подобных фигур | Их длины относятся как k |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какой элемент рассматривается: длина, угол или прямая. Для длин применяйте коэффициент k, а для углов оставляйте величину без изменений. Если сравниваете параллельные прямые, проверяйте, что речь идёт именно об их образах.
Задача 1. При преобразовании подобия с коэффициентом 3 отрезок AB длиной 4 см переходит в отрезок A′B′. Найдите его длину. Здесь известны длина прообраза и коэффициент, поэтому нужно применить правило изменения длины. Так как ищется образ, умножаем исходную длину на k.
Ответ: 12 см. Длина стала втрое больше, как и требует коэффициент 3.
Задача 2. Угол величиной 65° и его стороны преобразованы подобием с коэффициентом 2. Найдите величину образовавшегося угла. Коэффициент показывает изменение расстояний, а не величин углов. Поэтому здесь нельзя умножать 65° на 2: нужно использовать свойство сохранения угла.
Ответ: 65°. Коэффициент 2 изменил бы длины сторон угла, но не его величину.
Задача 3. Стороны треугольника ABC равны 3 см, 5 см и 7 см. Его образ — треугольник A′B′C′, причём A′B′ = 6 см соответствует AB. Найдите две другие стороны образа и объясните, почему треугольники подобны. Сначала находим масштаб по известной паре сторон. Затем применяем этот масштаб к двум оставшимся сторонам, поскольку коэффициент один и тот же для всех отрезков.
Ответ: две другие стороны образа равны 10 см и 14 см. Длины соответствующих сторон изменились в 2 раза, а углы при преобразовании подобия сохранились, поэтому треугольники подобны.
Ошибка — считать, что для разных отрезков действует разный коэффициент подобия. Так могут подумать, если смотреть только на отдельные измерения и не учитывать определение преобразования. Проверьте себя: разделите длину каждого образа на длину соответствующего прообраза — отношения должны быть одинаковыми и равными k.
Ошибка — умножать величину угла на коэффициент. Она возникает из-за того, что коэффициент действительно умножает длины и кажется, будто он меняет все характеристики фигуры. Но угол сохраняется: проверьте, что в формуле k применяется к расстояниям и длинам, а не к градусам.
Ошибка — находить коэффициент как отношение прообраза к образу, не проверяя порядок. Тогда можно получить обратное число и неверно вычислить длины. Перед делением подпишите, какая фигура исходная, а какая получена: k = длина образа / длина прообраза.
Ошибка — считать, что подобие обязательно сохраняет размеры фигуры. Её допускают, потому что слово «подобные» иногда принимают за «одинаковые». Проверьте, чему равен k: при k = 1 размеры не меняются, а при другом положительном k длины изменяются, хотя форма сохраняется.
Для изучения преобразования подобия нужно уметь находить расстояние между точками и длину отрезка. Также пригодятся понятия угла и параллельных прямых, потому что преобразование затрагивает и эти элементы фигуры. Если помнить их свойства, легче понять, что меняется, а что остаётся прежним.
Понятие подобия используется при изучении подобных треугольников. Оно помогает находить неизвестные стороны через отношения соответствующих длин. Это особенно удобно, когда прямое измерение невозможно, но известны другие стороны или масштаб.
Преобразование подобия описывает и масштабирование чертежей и изображений. При увеличении или уменьшении все расстояния меняются в одном отношении, поэтому пропорции и форма сохраняются. Та же идея помогает сравнивать реальные объекты с их изображениями в другом масштабе.
Что именно называется преобразованием подобия?
Это соответствие точек плоскости, при котором расстояния между любыми двумя точками изменяются в одно и то же число раз. Это число называют коэффициентом подобия k.
Почему коэффициент подобия одинаков для любых отрезков?
Так устроено преобразование подобия по определению: для любой пары точек отношение расстояния между их образами к исходному расстоянию равно одному числу k. Если для разных отрезков получались бы разные числа, это было бы не преобразование подобия.
Может ли преобразование подобия изменить величину угла?
Нет, величина угла сохраняется. Его стороны переходят в лучи того же направления относительно вершины, поэтому форма угла не меняется.
Как найти коэффициент подобия по длинам соответствующих отрезков?
Нужно разделить длину образа на длину исходного отрезка: k = длина образа / длина прообраза. Сначала проверьте, какая фигура во что переходит, иначе числитель и знаменатель можно перепутать.
Чем подобные фигуры отличаются от равных?
У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие длины пропорциональны; их размеры могут различаться. У равных фигур совпадают и форма, и размеры, поэтому коэффициент подобия между ними равен 1.
101. Свойства преобразования подобия
