100. Преобразование подобия

Определения и обозначения

Преобразование плоскости — соответствие, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие одна точка этой же плоскости. Исходную точку и её образ записывают как пару, например A и A′. Чтобы задать преобразование, нужно определить образы всех точек.

Преобразование подобия — преобразование, при котором расстояние между любыми двумя образами равно расстоянию между исходными точками, умноженному на одно и то же положительное число. Для точек A и B это записывают так: A′B′ = k · AB. Это определение показывает, что все длины изменяются согласованно.

Коэффициент подобия — положительное число k, показывающее, во сколько раз преобразование изменяет расстояния. Если k = 2, каждая длина становится вдвое больше, а если k = ½ — вдвое меньше. Зная k, можно находить неизвестные соответствующие длины.

Подобные фигуры — фигуры, одна из которых получается из другой преобразованием подобия. У них одинаковая форма, но размеры могут отличаться. Поэтому подобие связывает фигуры, которые выглядят одинаково, хотя имеют разные длины сторон.

Как это устроено

Представим, что каждой точке плоскости назначен образ: точка A переходит в A′, точка B — в B′ и так далее. Одного примера пары точек недостаточно, потому что преобразование должно задавать образ любой точки. Если образы всех точек определены, можно преобразовать целую фигуру, состоящую из этих точек.

Главное свойство подобия выражается формулой A′B′ = k · AB. Здесь AB — исходное расстояние, A′B′ — расстояние между образами, а k — общий коэффициент. Он один и тот же для любых двух точек, поэтому нельзя одну сторону увеличить в 2 раза, а другую — в 3 раза.

Углы при подобии сохраняются, потому что все расстояния изменяются одинаково. Например, если увеличить вдвое обе стороны угла, их направления не изменятся. Значит, угол между сторонами останется прежним, хотя сами отрезки станут длиннее.

При k > 1 образ каждой фигуры увеличивается: все расстояния становятся больше исходных. При 0 < k < 1 расстояния уменьшаются, поэтому фигура становится меньше. При k = 1 длины не меняются, и преобразование сохраняет расстояния.

Подобие сохраняет форму фигуры, но не обязательно её размеры. Например, большой и маленький треугольники могут иметь равные соответствующие углы и пропорциональные стороны. Если одна фигура получается из другой таким преобразованием, эти фигуры называют подобными.

Что происходит с фигурами при преобразовании подобия

В таблице сначала найдите характеристику исходной фигуры, а затем посмотрите, как она изменяется у образа. Для расстояний и длин применяется умножение на k. Угол и форма сохраняются.

Разбор задач

Задача 1

Точка A переходит в A′, а точка B — в B′. Известно, что AB = 4 см и A′B′ = 10 см. Требуется найти коэффициент подобия. Поскольку дана исходная длина и её образ, применяем основную формулу.

1. Записываем A′B′ = k · AB.
2. Выражаем коэффициент: k = A′B′ : AB = 10 : 4 = 2,5.
3. Число больше 1, значит, преобразование увеличивает расстояния.

Ответ: k = 2,5.

Задача 2

Коэффициент подобия равен 0,6. Нужно найти образ отрезка длиной 15 см и величину образа угла 48°. Длина изменяется по коэффициенту, а угол при подобии остаётся тем же. Поэтому для двух величин используются разные правила.

1. Находим длину образа: 0,6 · 15 = 9 см.
2. Угол не изменяется, поэтому его образ равен 48°.
3. Так как 0 < 0,6 < 1, отрезок уменьшился.

Ответ: длина образа равна 9 см, образ угла равен 48°.

Задача 3

Треугольник ABC переходит в треугольник A′B′C′, причём AB = 6 см, A′B′ = 9 см и BC = 8 см. Сначала найдём общий коэффициент по известной паре соответствующих сторон. Затем применим тот же коэффициент к стороне BC.

1. k = A′B′ : AB = 9 : 6 = 1,5.
2. Сторона B′C′ соответствует BC, поэтому B′C′ = k · BC.
3. B′C′ = 1,5 · 8 = 12 см.

Ответ: коэффициент подобия равен 1,5, а B′C′ = 12 см.

Типичные ошибки

Отрицательный или нулевой коэффициент. Иногда k путают с любым числом, но по определению он положительный. Перед решением проверьте, что k > 0.

Неверное направление умножения. Ошибка появляется, когда исходную длину и длину образа меняют местами. Подпишите, какая фигура исходная, и используйте формулу образ = k · исходная.

Сохранение длин. При подобии сохраняются не сами длины, а их отношения и форма. Проверьте себя: если k не равен 1, соответствующая длина должна измениться.

Изменение углов вместе с длинами. Умножать величину угла на k нельзя, потому что подобие сохраняет углы. В ответе для образа угла оставляйте ту же величину.

Связь с другими темами

До изучения преобразования подобия нужно знать, что такое преобразование плоскости, расстояние между точками, длина отрезка и величина угла. Эти понятия позволяют понимать запись A′B′ = k · AB и отличать исходные объекты от их образов.

Тема опирается на свойства треугольников и отношения отрезков. Позже она поможет изучать подобные треугольники, составлять пропорции и решать задачи на длины, масштаб и пропорциональные величины.

Что запомнить

• Преобразование подобия умножает все расстояния на одно и то же положительное число k.
• Коэффициент подобия показывает, во сколько раз изменяются длины.
• При k > 1 фигура увеличивается, при 0 < k < 1 уменьшается.
• При k = 1 расстояния не изменяются.
• Углы при преобразовании подобия сохраняются.
• Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут различаться размерами.