"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Преобразование подобия переводит каждую точку плоскости в другую так, что расстояния между любыми двумя образами отличаются от исходных в одно и то же положительное число раз. Это позволяет описывать увеличение и уменьшение фигур без изменения их формы. Коэффициент подобия k показывает масштаб: углы сохраняются, длины умножаются на k, а площади — на k². Фигуры, связанные таким преобразованием, называют подобными.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразованием подобия называют преобразование плоскости, при котором расстояние между образами любых двух точек равно расстоянию между исходными точками, умноженному на одно и то же положительное число. Если точки A и B переходят в A′ и B′, то AB′ = k · AB, где k не зависит от выбора точек. Это определение нужно, чтобы описывать изменение размера фигуры, не меняя её форму.
Число k называют коэффициентом подобия. Оно показывает, во сколько раз изменяются все расстояния при переходе от исходных точек к образам: при k > 1 фигура увеличивается, а при 0 < k < 1 уменьшается. Положительность коэффициента исключает исчезновение расстояний и задаёт обычный масштаб без смены направления измерения.
Фигуры называют подобными, если одна из них получается из другой преобразованием подобия. Иначе говоря, между их точками можно установить соответствие, при котором все расстояния умножаются на один и тот же k. Это понятие позволяет сравнивать фигуры разного размера и переносить свойства одной фигуры на другую.
Для любой пары точек действует один и тот же множитель k, потому что так устроено само определение подобия. Если бы разные пары расстояний изменялись в разные разы, фигура могла бы растянуться в одном направлении сильнее, чем в другом. Тогда её форма изменилась бы, а подобия уже не было бы.
Углы при подобии сохраняются. Чтобы увидеть причину, возьмём две стороны угла с общей вершиной: их длины и расстояние между точками на сторонах одновременно масштабируются в k раз. Поэтому отношение этих величин не меняется, а вместе с ним не меняется и величина угла. Значит, соответствующие углы исходной и образованной фигур равны.
Прямые при преобразовании подобия переходят в прямые, поскольку точки прямой задаются направлением и расстояниями между ними, а все эти расстояния меняются одинаково. Три точки, лежавшие на одной прямой, после преобразования остаются на одной прямой: масштаб не изгибает линию. Отрезок переходит в отрезок, а его длина умножается на k, как и расстояние между его концами.
У подобных фигур соответствующие стороны пропорциональны, а соответствующие углы равны. Пропорциональность следует из того, что каждая сторона — это расстояние между парой соответствующих точек и потому умножается на один коэффициент. Равенство углов следует из сохранения углов при преобразовании. Поэтому при переходе от одной фигуры к другой длины сторон меняются согласованно, а очертание фигуры остаётся тем же.
Преобразование подобия можно представить как последовательное выполнение гомотетии и движения. Гомотетия с коэффициентом k увеличивает или уменьшает все расстояния в k раз, а движение меняет положение фигуры, сохраняя расстояния. Сначала масштабируют фигуру гомотетией, затем при необходимости переносят, поворачивают или отражают её движением. Так можно получить требуемое положение образа, не нарушив свойств подобия.
В таблице сопоставлены основные объекты и величины до преобразования и после него. Коэффициент k относится к переходу от исходной фигуры к её образу, поэтому при обратном переходе следует использовать 1/k. Сравнивая длины, проверяйте, какая из фигур исходная, а какая — образ.
| Объект или характеристика | Результат преобразования | Связь с коэффициентом подобия k |
|---|---|---|
| Расстояние между двумя точками | Изменяется в k раз | Расстояние образов равно k, умноженному на исходное |
| Длина отрезка | Изменяется в k раз | Длина образа равна k · длина исходного |
| Величина угла | Сохраняется | Не зависит от k |
| Прямая | Переходит в прямую | Расстояния на ней изменяются в k раз |
| Площадь фигуры | Изменяется в k² раз | Площадь образа равна k² · площадь исходной |
При решении задач сначала установите, от какой фигуры выполняется преобразование, а затем применяйте соответствующий коэффициент. Если ищется длина образа, исходную длину умножают на k. В задачах с углами используют их сохранение, а не масштабирование.
Задача 1. При преобразовании подобия с коэффициентом 3 расстояние между точками A и B равно 4 см. Найдите расстояние между их образами.
Ответ: 12 см.
Задача 2. Стороны треугольника равны 3 см, 5 см и 7 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, если коэффициент подобия равен 0,4.
Ответ: 1,2 см, 2 см и 2,8 см.
Задача 3. Преобразование подобия переводит треугольник ABC в A′B′C′. Известно, что AB = 6 см, A′B′ = 9 см, BC = 8 см и ∠A = 50°. Найдите коэффициент подобия, B′C′ и ∠A′.
Ответ: k = 1,5; B′C′ = 12 см; ∠A′ = 50°.
Ошибка: считать, что k может быть отрицательным или равным нулю. Так иногда рассуждают, перенося на масштаб свойства координатного множителя, но коэффициент подобия по определению положителен. Проверьте себя: коэффициент должен задавать положительное изменение расстояния, а не обнулять его или менять знак.
Ошибка: умножать длину на обратный коэффициент. Она возникает, когда не различают исходную фигуру и её образ, особенно если в условии названы обе длины. Перед вычислением запишите отношение k = длина образа / длина исходной; если ищете исходную длину по образу, разделите на k.
Ошибка: считать, что при подобии сохраняются длины. Такое ожидание возникает из-за смешения подобия с движением, которое действительно сохраняет расстояния. Проверьте, равен ли k единице: если нет, длины должны измениться, тогда как величины соответствующих углов останутся прежними.
Ошибка: объявлять фигуры подобными только по пропорциональности сторон, не проверив углы или возможность соответствующего преобразования. Пропорциональность сторон сама по себе может быть недостаточным обоснованием в задаче о многоугольниках. Сопоставьте соответствующие вершины и убедитесь, что сохраняются углы и единый коэффициент связывает все расстояния.
Для изучения подобия нужны понятия преобразования плоскости, движения и гомотетии. Также пригодятся свойства равенства и пропорциональности отрезков: на них основаны вычисления коэффициента и длин образов. Если помнить, что движение не меняет расстояний, а гомотетия масштабирует их, связь между этими преобразованиями становится понятнее.
Преобразование подобия используется при изучении подобных треугольников и в задачах на пропорциональные отрезки. Оно помогает переходить от известной фигуры к увеличенной или уменьшенной и находить неизвестные размеры. Представление о подобии также подготавливает к дальнейшему рассмотрению преобразований фигур.
Чем преобразование подобия отличается от движения?
Движение сохраняет все расстояния, поэтому его коэффициент равен 1. При преобразовании подобия расстояния могут изменяться в k раз, хотя форма фигуры сохраняется.
Может ли коэффициент подобия быть меньше единицы?
Да. При 0 < k < 1 все расстояния уменьшаются, и образ становится меньше исходной фигуры. Коэффициент при этом остаётся положительным.
Что сохраняется при преобразовании подобия?
Сохраняются величины углов, а прямые переходят в прямые. Расстояния и длины отрезков не сохраняются: они умножаются на k.
Как найти коэффициент подобия по длинам соответствующих отрезков?
Нужно разделить длину образа отрезка на длину исходного отрезка: k = длина образа / длина исходного отрезка. Порядок важен, потому что при обратном отношении получится коэффициент обратного преобразования.
Почему подобие можно представить как гомотетию и движение?
Гомотетия изменяет расстояния в одинаковое число раз, а движение переносит, поворачивает или отражает фигуру, не меняя расстояний. Выполнив сначала гомотетию с нужным коэффициентом, а затем движение, можно получить любое преобразование подобия.
58. Преобразование подобия
