57. Параллельный перенос

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование плоскости, при котором каждая точка перемещается на один и тот же вектор. Иначе говоря, вся плоскость как бы сдвигается без поворота и изменения масштаба. Это определение позволяет отличить перенос от других способов перемещения фигуры.

Вектор переноса — общий для всех точек вектор, задающий направление и длину перемещения. Если перенос задан вектором a, то точка M переходит в M′ так, что MM′ = a. Вектор нужен, чтобы однозначно определить сдвиг: только длины или только направления для этого недостаточно.

Образ точки — точка M′, в которую переходит точка M при параллельном переносе. Запись M → M′ показывает соответствие между исходной точкой и результатом преобразования. Если вектор переноса нулевой, точка остаётся на месте, поэтому M′ совпадает с M.

Образ фигуры — фигура, составленная из образов всех точек исходной фигуры при одном и том же переносе. Например, чтобы получить образ треугольника, нужно найти образы всех его вершин. Понятие образа помогает точно описывать результат преобразования целой фигуры.

Как это устроено

Перенос задаётся одним вектором: его направление указывает, куда двигать точки, а длина — насколько далеко. Поэтому для каждой точки M строят точку M′ так, чтобы MM′ был равен вектору переноса и сонаправлен с ним. Если изменить вектор, изменится и положение всех образов. При нулевом векторе сдвига нет, и каждая точка совпадает со своим образом.

Рассмотрим две точки A и B и их образы A′ и B′. У отрезков AA′ и BB′ один и тот же вектор: одинаковы их длины и направления. Четырёхугольник AA′B′B при таком расположении является параллелограммом, поэтому противоположные стороны AB и A′B′ равны и параллельны. Если исходные точки и вектор лежат на одной прямой, соответствующие отрезки могут не образовать обычный параллелограмм, но их длины всё равно равны, а прямые, на которых они лежат, совпадают.

Расстояние между точками не меняется, потому что обе точки смещаются одинаково. Например, если координаты A и B равны (x₁; y₁) и (x₂; y₂), а вектор переноса имеет координаты (p; q), то образы имеют координаты (x₁ + p; y₁ + q) и (x₂ + p; y₂ + q). Разности координат остаются x₂ − x₁ и y₂ − y₁, а значит, сохраняется и расстояние. Преобразование, сохраняющее расстояния, называют движением.

Прямая при переносе переходит в параллельную ей прямую или в себя. Действительно, все точки исходной прямой получают один и тот же сдвиг, поэтому направление самой прямой не меняется. Если вектор переноса не направлен вдоль прямой, её образ оказывается на другой параллельной прямой. Если же вектор направлен вдоль неё, точки перемещаются по этой же прямой.

Чтобы построить образ фигуры, выберите её характерные точки: для многоугольника это вершины, для отрезка — концы. От каждой точки отложите один и тот же вектор, соблюдая его направление и длину. Затем соедините образы в том же порядке, что и исходные точки. Такой способ сохраняет связи между элементами фигуры и не требует заново определять её форму.

Что происходит с фигурами при параллельном переносе

Таблица помогает быстро определить, что произойдёт с отдельным объектом или свойством после переноса. Например, при построении образа отрезка можно сразу проверить равенство его длины исходному отрезку. Для прямой отдельно учитывайте особый случай: если вектор направлен вдоль неё, прямая переходит в себя.

Разбор задач

1. Построение образа точки

Условие. Даны точка A и вектор переноса a. Постройте образ A′ точки A. Нужно перенести точку не просто на подходящее расстояние, а точно в направлении заданного вектора.

1. Приложите начало вектора a к точке A, сохраняя его направление и длину.
2. Отложите от A вектор, равный и сонаправленный a; его конец обозначьте A′.
3. Проверьте, что AA′ = a. Такая запись означает и равенство длин, и совпадение направлений.

Ответ. Точка A′, для которой AA′ = a, является образом точки A. Если a — нулевой вектор, то A′ совпадает с A. Так проверяется не только расстояние, но и правильность направления сдвига.

2. Образ треугольника и его стороны

Условие. Треугольник ABC перенесён на вектор a. Постройте его образ и укажите соответствующие стороны. Сначала нужно определить образы всех вершин, ведь каждая точка треугольника смещается одним и тем же вектором.

1. Постройте A′, B′ и C′ так, чтобы AA′ = BB′ = CC′ = a.
2. Соедините A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′. Полученный треугольник A′B′C′ — образ исходного.
3. Сопоставьте стороны по их концам: AB и A′B′, BC и B′C′, CA и C′A′. Каждая пара равна и параллельна либо лежит на одной прямой.

Ответ. Образом является треугольник A′B′C′. Его стороны соответствуют сторонам исходного треугольника по одинаковому порядку вершин. Одновременный перенос вершин гарантирует, что полученная фигура не исказится.

3. Образ отрезка и его длина

Условие. При переносе точка A переходит в A′, а точка B — в B′. Определите образ отрезка AB и докажите, что его длина не изменилась. По двум соответствиям можно восстановить общий вектор и проверить, что речь идёт об одном переносе.

1. Поскольку задан параллельный перенос, векторы AA′ и BB′ равны одному вектору переноса.
2. Перенесите все точки отрезка AB тем же вектором. Его концы переходят в A′ и B′, значит, образом отрезка является A′B′.
3. Одинаковый сдвиг обеих точек не меняет расстояние между ними: в координатах к обеим парам координат прибавляются одинаковые числа. Следовательно, AB = A′B′.

Ответ. Образ отрезка AB — отрезок A′B′, и его длина равна длине AB. Это следует из общего вектора переноса и сохранения расстояний.

Типичные ошибки

Сдвигать разные точки на разные векторы. Так иногда поступают, пытаясь подогнать образ под нужную форму, но тогда преобразование уже не будет параллельным переносом. Проверьте, что для каждой точки вектор от неё к образу один и тот же. У всех таких перемещений должны совпадать длина и направление.

Менять направление вектора при построении. Можно отложить от точки правильную длину, но в противоположную сторону и получить неверный образ. Ошибка возникает, если смотреть только на расстояние и не учитывать стрелку вектора. Проверьте, что отрезок от исходной точки к образу сонаправлен вектору переноса.

Считать, что прямая обязательно переходит в другую прямую. При векторе, направленном вдоль прямой, её точки перемещаются по ней же, поэтому прямая переходит в себя. Такой случай легко упустить, если помнить только о сдвиге фигуры в сторону. Проверьте взаимное направление вектора и прямой: если они параллельны, образ может совпасть с исходной прямой.

Путать равенство отрезков с совпадением их положения. Соответствующие отрезки после переноса равны по длине, но обычно находятся в разных местах. Ошибку допускают, принимая сохранение размера за неподвижность фигуры. Сравните длины и отдельно проверьте, совпадают ли сами отрезки как части плоскости.

Связь с другими темами

Для работы с параллельным переносом нужны знания о векторах: важно уметь сравнивать их длину и направление, а также откладывать вектор от заданной точки. При изучении параллельных прямых и равных отрезков эти свойства помогают доказывать, что образ сохраняет форму. Параллельный перенос — один из видов движений плоскости, поэтому он связан с другими преобразованиями фигур, в том числе с симметриями. Эти знания пригодятся, когда нужно описать или сравнить фигуры, не меняя их размеры.

Что запомнить

• Параллельный перенос задаётся одним вектором.
• Все точки перемещаются на один и тот же вектор.
• При нулевом векторе переноса каждая точка остаётся на месте.
• Параллельный перенос сохраняет расстояния и является движением.
• Прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя.
• Образ фигуры строят переносом её точек на один и тот же вектор.