8.3. Параллельный перенос

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование плоскости, при котором все точки перемещаются на один и тот же вектор. Иначе говоря, у каждой точки одинаковы направление и длина перемещения. Это правило позволяет точно описать сдвиг фигуры, не задавая отдельное движение для каждой её части.

Вектор переноса — направленный отрезок, задающий направление и расстояние перемещения каждой точки. Его обозначают, например, маленькой буквой со стрелкой или двумя буквами со стрелкой; направление показывает стрелка. По этому вектору строят положение образов точек, поэтому важно учитывать и длину отрезка, и его направление.

Образ точки — точка, полученная из исходной точки параллельным переносом. Если A переходит в A′, то вектор AA′ равен вектору переноса: у них одинаковы длина и направление. Это равенство служит главным правилом построения и помогает проверить, правильно ли найден образ.

Образ фигуры — фигура, состоящая из образов всех точек исходной фигуры. Например, образ треугольника получается переносом каждой его вершины и всех точек его сторон. Такое определение нужно, чтобы понимать: преобразуется вся фигура, а не только несколько отмеченных точек.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A по заданному вектору, приложи начало вектора к A и отложи от неё отрезок той же длины и в том же направлении. Конец отрезка обозначь A′; тогда AA′ равен вектору переноса. Для фигуры повтори построение для каждой вершины, а затем соедини найденные точки в прежнем порядке. Так получаются образы сторон и всей границы фигуры.

Все точки перемещаются одинаково не случайно: это основное условие параллельного переноса. Если вектор один и тот же, отрезки, соединяющие каждую точку с её образом, равны и параллельны. Благодаря этому фигура сдвигается целиком, а не растягивается или изгибается. Если же для разных точек выбрать разные векторы, преобразование уже не будет параллельным переносом.

Пусть две точки A и B переходят в A′ и B′ на один вектор. Вектор AB можно сложить с вектором перемещения BB′, чтобы получить путь из A в B′; тот же результат даёт путь через A′, потому что AA′ и BB′ равны. Следовательно, AB = A′B′ как векторы, а значит, длины отрезков AB и A′B′ равны. Сохранение расстояний между точками обеспечивает неизменность длин и углов, а значит, сохраняются форма и площадь фигуры.

Если координаты точки равны (x; y), а вектора переноса — (a; b), то после переноса получаем x′ = x + a и y′ = y + b. Это следует из того, что первая координата меняется на горизонтальную составляющую вектора, а вторая — на вертикальную. Например, при векторе (4; −1) абсцисса увеличивается на 4, а ордината уменьшается на 1. Отрицательный знак уже показывает направление, поэтому его не нужно менять отдельно.

Прямая при переносе сохраняет направление: если взять на ней две точки, отрезок между их образами будет параллелен исходному отрезку. Поэтому образ прямой — параллельная ей прямая. Если вектор переноса направлен вдоль самой прямой, её точки остаются на этой прямой, хотя обычно перемещаются по ней; в этом случае прямая переходит в себя. Так объясняются оба возможных результата.

Свойства параллельного переноса

Таблица помогает быстро определить, что изменится, а что останется прежним после переноса. При решении задачи можно выбрать нужное свойство: например, для доказательства равенства отрезков использовать сохранение длины. Помни, что положение фигуры обычно меняется, хотя её форма и размеры остаются прежними.

Разбор задач

Образ треугольника

Задача: построить образ треугольника ABC при параллельном переносе на вектор a. Нужно перенести не только одну вершину, но и каждую точку треугольника; достаточно построить образы вершин и соединить их. Обозначим новые точки A′, B′ и C′. Проверим для всех трёх, что перемещение задано одним и тем же вектором.

1. Из точек A, B и C отложи отрезки, равные вектору a и направленные так же.
2. Концы этих отрезков обозначь A′, B′ и C′. Тогда векторы AA′, BB′ и CC′ равны a.
3. Соедини A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины.

Мы получили образ каждой вершины, а стороны нового треугольника соединяют соответствующие образы точек исходных сторон. Поскольку перенос сохраняет длины и углы, A′B′C′ равен исходному треугольнику ABC. Ответ: образ — треугольник A′B′C′, где AA′ = BB′ = CC′ = a как векторы.

Координаты образа точки

Задача: дана точка A(−2; 3). Найти её образ при переносе на вектор (4; −1). Первая координата вектора показывает сдвиг по горизонтали, вторая — по вертикали. Поэтому прибавляем их к координатам точки, сохраняя знаки.

1. Найди абсциссу образа: x′ = −2 + 4 = 2.
2. Найди ординату образа: y′ = 3 + (−1) = 2.
3. Запиши обе координаты вместе: A′(2; 2).

Проверка по смыслу: точка сдвинулась на 4 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Координата x стала больше, а y — меньше, как и требует знак вектора. Ответ: A′(2; 2).

Образ отрезка

Задача: доказать, что параллельный перенос переводит отрезок AB в равный и параллельный ему отрезок A′B′. Обозначим общий вектор переноса через v, тогда AA′ = BB′ = v. Сравним векторы, задающие исходный и новый отрезки; это покажет и их параллельность, и равенство длин.

1. Запиши путь от A к B′ через B: AB′ = AB + BB′.
2. Запиши тот же путь через A′: AB′ = AA′ + A′B′.
3. Так как AA′ = BB′, приравняй выражения и получи AB = A′B′.

Равенство векторов означает, что отрезки имеют одинаковое направление и длину. Значит, AB и A′B′ параллельны и равны; если точки совпадают или отрезок имеет особое положение, вывод о равенстве всё равно сохраняется. Ответ: образ отрезка равен ему и параллелен ему.

Типичные ошибки

Ошибка: перемещать разные точки на разные векторы. Так можно поступить, если не проверить, что задан один общий вектор, или спутать перенос с произвольным изменением фигуры. Сравни отрезки от каждой исходной точки до её образа: они должны совпадать по длине и направлению.

Ошибка: направить вектор в противоположную сторону. Это часто происходит, если ориентироваться только на длину отрезка и не смотреть на стрелку. Перед построением отметь начало и конец вектора, а после проверь, что стрелки от каждой точки к её образу направлены так же.

Ошибка: менять знак координаты точки вместо прибавления координаты вектора. Путаница возникает, когда вектор имеет отрицательную координату, например −1. Подставь её в формулу x′ = x + a, y′ = y + b без изменения знака и проверь результат по направлению сдвига.

Ошибка: считать, что образ прямой всегда совпадает с исходной. Так рассуждают, потому что прямая и её образ параллельны, а параллельные прямые не пересекаются. Они совпадут только тогда, когда вектор переноса направлен вдоль прямой; в остальных случаях образ — другая параллельная прямая.

Связь с другими темами

Для построений понадобятся векторы: их координаты, сложение и умение откладывать равные направленные отрезки. Эти знания позволяют задавать единое смещение и находить образы точек. Координаты точек на плоскости и формула расстояния помогают записывать перенос вычислениями и проверять сохранение расстояний.

Дальше параллельный перенос пригодится при изучении движений плоскости, симметрий и поворота. Это один из способов преобразовать фигуру, сохранив её форму и размеры. Свойства переноса также используют в доказательствах равенства фигур и отрезков.

Что запомнить

• Параллельный перенос задаётся одним вектором.
• Все точки фигуры перемещаются на одинаковое расстояние в одном направлении.
• Образ точки A определяется равенством векторов AA′ и вектора переноса.
• При переносе сохраняются длины, углы, расстояния, площади и параллельность.
• Точка (x; y) при переносе на вектор (a; b) переходит в точку (x + a; y + b).
• Прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя.
• Параллельный перенос сохраняет форму фигуры.