§ 42 Параллельный перенос

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Это похоже на сдвиг рисунка по листу без поворота и отражения. Такое правило позволяет точно описывать перемещение и сравнивать исходную фигуру с полученной.

Вектор параллельного переноса — направленный отрезок, задающий направление и расстояние переноса. Если точка A переходит в A′, то вектор AA′ равен вектору переноса. По нему можно одинаково переместить любую точку, поэтому для построения не нужно каждый раз выбирать новое направление.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при параллельном переносе; образ точки A обозначают A′. Штрих помогает отличить новую точку от исходной, хотя на рисунке они могут оказаться близко. Это обозначение нужно, чтобы записывать соответствия и рассуждать о свойствах построения.

Образ фигуры — множество образов всех её точек при одном и том же параллельном переносе. Например, образ треугольника состоит из образов всех точек его сторон и внутренней области. Понятие нужно, чтобы говорить о результате переноса всей фигуры, а не только одной вершины.

Как это устроено

Перенос задают одним направленным отрезком: для любой точки строят равный ему и сонаправленный отрезок, начало которого находится в этой точке. Равная длина обеспечивает одинаковое расстояние перемещения, а совпадающее направление не позволяет точкам разойтись в разные стороны. Поэтому достаточно один раз выбрать вектор переноса и применять его к каждой точке. Если у отрезка есть стрелка, её нельзя игнорировать: она отличает направление от противоположного.

Чтобы получить образ отрезка или многоугольника, достаточно перенести его вершины, а затем соединить их в прежнем порядке. У отрезка есть две вершины, а у многоугольника — конечное число вершин, поэтому построение сводится к нескольким одинаковым действиям. Между вершинами стороны переходят в стороны образа, а порядок соединения сохраняет расположение частей фигуры. Для фигур с кривыми границами правило то же для каждой точки границы, хотя построить все точки на рисунке бывает труднее.

При переносе сохраняются расстояния и углы: образ отрезка равен исходному, а образ угла равен ему. Причина в том, что у всех точек один и тот же сдвиг: расстояние между двумя точками не меняется, если переместить обе одинаково. Направления сторон угла также остаются прежними, поэтому его величина сохраняется. Значит, соответствующие стороны и углы многоугольника можно сравнивать с исходными без дополнительных измерений.

Прямая при переносе переходит в параллельную ей прямую или в себя, если направление переноса совпадает с направлением прямой. Чтобы понять это, представь две точки на прямой: обе смещаются на одинаковый вектор, поэтому линия через их образы сохраняет прежнее направление. Если вектор направлен вдоль самой прямой, её точки просто переходят в другие точки этой же прямой. Это особый случай, поэтому образ не всегда является отдельной параллельной прямой.

Перенос не меняет форму и размер фигуры: её образ можно совместить с исходной фигурой движением без поворота и отражения. Каждая точка сместилась одинаково, поэтому части фигуры не растянулись и не поменялись местами. После обратного сдвига образ вернулся бы на исходное место. Это показывает, почему перенос относят к движениям, сохраняющим расстояния.

Как параллельный перенос изменяет геометрические объекты

В таблице собраны результаты переноса для основных геометрических объектов. Сначала найдите нужный объект в первом столбце, затем проверьте, что произойдёт с ним и какие свойства останутся прежними. Таблица помогает быстро отличить изменение положения от изменения формы.

Разбор задач

Задача 1. Постройте образ точки A при переносе, заданном направленным отрезком PQ.

Нужно получить точку A′ так, чтобы отрезок AA′ был равен PQ и имел то же направление. Направленный отрезок задаёт сразу два условия, поэтому одной лишь длины недостаточно. Выполним построение по порядку и проверим оба условия.

1. Из точки A проведите луч, параллельный PQ и направленный так же, как PQ.
2. Циркулем отложите на этом луче отрезок AA′, равный PQ.
3. Проверьте, что начало отрезка находится в A, а стрелки AA′ и PQ направлены одинаково.

Полученная точка A′ — образ точки A. Если отложить отрезок в противоположную сторону, длина будет верной, но получится другой перенос.

Задача 2. Постройте образ треугольника ABC при заданном параллельном переносе.

Образ треугольника должен включать образы всех его точек, поэтому перенос одной вершины не завершает построение. Но достаточно начать с вершин: они определяют стороны и весь треугольник. Обозначим полученные образы A′, B′ и C′.

1. Из A, B и C проведите лучи, параллельные направлению переноса и направленные так же.
2. На каждом луче отложите один и тот же отрезок, равный длине вектора переноса; получите A′, B′ и C′.
3. Соедините A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′ в исходном порядке.

Треугольник A′B′C′ — искомый образ. Проверьте, что все три вершины смещены одинаково: тогда построены части одной фигуры при одном переносе.

Задача 3. При переносе A и B переходят в A′ и B′. Докажите, что AB = A′B′.

Здесь требуется обосновать сохранение расстояния между двумя точками, а не измерить его на чертеже. По определению переноса AA′ и BB′ равны вектору переноса, значит, они равны и параллельны. Рассмотрим четырёхугольник ABB′A′.

1. Отрезки AA′ и BB′ параллельны и равны, так как задаются одним вектором.
2. Четырёхугольник с одной парой противоположных сторон, которые равны и параллельны, является параллелограммом.
3. У параллелограмма противоположные стороны равны, следовательно, AB = A′B′.

Равенство доказано. Если точки или перенос расположены на одной прямой, четырёхугольник может выродиться, но расстояние всё равно сохраняется: обе точки сдвигаются на один и тот же отрезок.

Типичные ошибки

Ошибка: для разных точек откладывают отрезки разной длины. Так бывает, когда каждую вершину строят отдельно и не сверяют с заданным вектором. В результате точки перемещаются неодинаково, и единого переноса не получается. Проверьте циркулем, что длина каждого отрезка от исходной точки до её образа равна длине вектора.

Ошибка: отрезок нужной длины откладывают в противоположную сторону. Часто стрелку воспринимают как необязательное оформление и учитывают только длину. Но тогда точка окажется по другую сторону от исходной, то есть получится другой перенос. Сравните направление стрелки вектора и направление отрезка от точки к её образу.

Ошибка: переносят одну вершину фигуры и объявляют построение законченным. Образ фигуры состоит из образов всех её точек, а одной вершины для восстановления многоугольника недостаточно. Обычно так происходит, если путают образ точки и образ всей фигуры. Перенесите каждую вершину одним вектором и соедините их в прежнем порядке.

Ошибка: считают, что прямая всегда переходит в отличную от неё параллельную прямую. Это правило легко запомнить без оговорки, но прямая, параллельная направлению переноса, может перейти в себя. Проверьте, лежат ли направления прямой и вектора переноса на параллельных линиях. Если да, образ прямой может совпасть с ней самой.

Связь с другими темами

Для построений при переносе пригодятся умения проводить параллельные прямые и откладывать отрезок заданной длины в нужном направлении. Эти действия позволяют точно находить образы точек, а не оценивать их положение на глаз. Перенос относится к движениям, сохраняющим расстояния, поэтому это свойство понадобится при изучении симметрии и других преобразований фигур. Его также используют при построении фигур и доказательстве их равенства: образ сохраняет размеры и форму исходной фигуры.

Что запомнить

• Перенос задаётся одним направленным отрезком.
• Все точки перемещаются на одинаковое расстояние и в одном направлении.
• Образ точки A обозначают A′.
• Длины отрезков при переносе сохраняются.
• Величины углов при переносе сохраняются.
• Прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя.