§ 43 Движение. Равенство фигур

Определения и обозначения

Движение — преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Иными словами, если точки A и B переходят в A₁ и B₁, то AB = A₁B₁. Это определение нужно, чтобы отличать движение от произвольного изменения рисунка и проверять, сохраняются ли размеры.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при преобразовании. Например, если A переходит в A₁, то A₁ — образ точки A, а A и A₁ связаны данным движением. Такое обозначение помогает точно описывать, куда перешла каждая точка.

Образ фигуры — фигура, состоящая из образов всех точек исходной фигуры. Поэтому при движении треугольника переходят не только его вершины: образуются также точки его сторон и внутренней области. Это понятие нужно, чтобы понимать, что преобразуется вся фигура, а не только несколько отмеченных точек.

Равные фигуры — фигуры, одну из которых можно совместить с другой движением. Точки, которые при таком совмещении совпадают, образуют пары соответствующих точек. Это определение позволяет установить равенство целых фигур и не спутать его с простым сходством внешнего вида.

Как это устроено

Преобразование плоскости задаёт правило, по которому каждой точке ставится в соответствие другая точка — её образ. Когда преобразуют фигуру, это правило применяют ко всем её точкам, а не только к вершинам. Поэтому получается новая фигура, называемая образом исходной. Например, образом треугольника будут образы всех точек треугольника.

Условие движения проверяют на любых двух точках, потому что именно расстояние между ними показывает длину соединяющего их отрезка. Если точки A и B перешли в A₁ и B₁, равенство AB = A₁B₁ означает, что отрезок не стал длиннее или короче. Поскольку правило относится к каждой паре точек, сохраняются длины всех отрезков фигуры. Из этого следует, что не меняются и расстояния между её точками.

Сохранение расстояний не даёт фигуре растянуться или сжаться: любое изменение её размеров изменило бы расстояние хотя бы между некоторыми точками. Фигура может переместиться, повернуться или отразиться, потому что её новое положение не обязано совпадать с исходным. Но расстояния между соответствующими точками остаются прежними, поэтому форма и размеры сохраняются. Так различают изменение положения и изменение самой фигуры.

Равенство фигур связывают с движением: если движением одну фигуру можно перевести в другую, фигуры равны. Для такого вывода нужно понимать, какие точки одной фигуры переходят в какие точки другой. Это соответствие задаётся самим движением, а не выбирается произвольно после сравнения фигур. Благодаря ему можно сравнивать стороны и вершины в правильном порядке.

Рассуждение можно проверить и в обратном направлении: если равные фигуры совместить движением, соответствующие точки совпадут. Поэтому соответствующие вершины многоугольников оказываются в одних и тех же местах, их стороны совпадают, а углы имеют одинаковую величину. Это не случайное совпадение отдельных элементов, а следствие совмещения всей фигуры. Например, при совмещении двух треугольников каждая вершина и каждая сторона одного совпадает с соответствующей частью другого.

Движение и равенство фигур

Пользуйся таблицей как коротким планом проверки: сначала найди соответствия точек, затем проверь, сохраняются ли расстояния. Для равенства фигур нужно проследить переход всей фигуры, а не сравнить только отдельные отрезки. В последнем столбце собраны вопросы, которые помогают обосновать вывод.

Разбор задач

В задачах о движении сначала определяют, какие точки переходят друг в друга, а затем применяют сохранение расстояний. Если речь идёт о целых фигурах, нужно проследить соответствие всех вершин и понять, что движение переводит одну фигуру в другую. Разберём три типичных случая. Каждый вывод будет опираться на определение движения или равных фигур.

Задача 1. Точки A и B при движении переходят в A₁ и B₁. Известно, что AB = 5 см. Найдите A₁B₁.

1. По условию A и B — исходные точки, а A₁ и B₁ — их образы.
2. Движение сохраняет расстояние между любыми двумя точками, поэтому AB = A₁B₁.
3. Подставляем известную длину: A₁B₁ = 5 см.

Ответ: 5 см. Здесь не требуется измерять новый отрезок: его длина следует из свойства движения. Если бы ответ отличался от 5 см, такое преобразование не было бы движением.

Задача 2. Треугольник ABC движением переведён в треугольник A₁B₁C₁. Запишите соответствие вершин и укажите, какие стороны имеют равные длины.

1. Сопоставляем вершины в порядке записи: A переходит в A₁, B — в B₁, C — в C₁.
2. Для каждой стороны берём пару её концов и их образы: AB переходит в A₁B₁, BC — в B₁C₁, AC — в A₁C₁.
3. По сохранению расстояний получаем AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁.

Ответ: соответствуют вершины A и A₁, B и B₁, C и C₁; равны длины AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁. Порядок важен: он показывает, какие стороны сравнивать. Если поменять соответствие вершин, можно ошибочно сопоставить разные стороны.

Задача 3. Докажите, что треугольники ABC и A′B′C′ равны, если движением точки A, B и C переводятся соответственно в A′, B′ и C′.

1. По условию движение переводит вершины A, B, C соответственно в A′, B′, C′.
2. Поскольку при движении образуется фигура из образов всех её точек, треугольник ABC переходит в треугольник A′B′C′.
3. По определению фигуры равны, если движением одну можно перевести в другую. Значит, треугольники ABC и A′B′C′ равны.

Ответ: треугольники равны по определению равных фигур. Одного перечисления вершин было бы недостаточно, если бы не было сказано, что их переводит одно движение. Именно это условие позволяет заключить, что переходит вся фигура.

Типичные ошибки

Считать движением любое перемещение рисунка. Так думают, потому что в обычной речи движение означает просто перемену положения. Но в геометрии одного перемещения недостаточно: должны сохраняться расстояния между всеми парами точек. Проверь себя, сравнив расстояние между любыми двумя точками до и после преобразования.

Путать образ фигуры с отдельной точкой. Такая ошибка возникает, когда рассматривают только вершины и забывают об остальных точках. Образ фигуры включает образы всех её точек, в том числе точек сторон и внутренней области. Проверь себя: речь идёт об одной точке или о результате преобразования всей фигуры?

Указывать равенство фигур без соответствия точек. Без соответствия неясно, какие вершины и стороны сравниваются. Обычно это происходит, когда смотрят только на внешний вид фигур. Перед выводом запиши пары точек, которые переводятся друг в друга, и проверь соответствие сторон.

Делать вывод о равенстве только по совпадению отдельных длин. Несколько равных сторон сами по себе не показывают, что одну фигуру можно перевести в другую движением. Такая ошибка появляется, когда свойство части фигуры принимают за доказательство свойства всей фигуры. Проверь себя: указано ли движение, которое переводит все точки первой фигуры во вторую?

Связь с другими темами

Для изучения движения нужно уметь находить расстояние между точками, работать с отрезками и углами, читать обозначения фигур. Эти знания помогают понять, что именно должно сохраняться при преобразовании. Связь движения с равенством отрезков и углов позволяет обосновывать равенство многоугольников. Позже понятие движения пригодится при изучении симметрии и других преобразований плоскости.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояние между любыми двумя точками.
• При движении каждая точка переходит в свой образ.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• Движение сохраняет длины отрезков и размеры фигур.
• Равные фигуры можно совместить движением.
• При сравнении фигур важно указывать соответствующие точки.