"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Паркет — это покрытие плоскости многоугольными плитками без щелей и наложений. В геометрии изучают, как форма плиток и их углы влияют на возможность такого покрытия. Если все плитки одинаковые и правильные, паркет называют правильным; если используются разные правильные многоугольники — полуправильным. Главная проверка начинается у вершины: углы всех сходящихся там плиток должны составить 360°. Но для целого паркета нужно также убедиться, что узор можно продолжить по всей плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Паркет — это покрытие плоскости многоугольниками без промежутков и наложений. Плитки соприкасаются сторонами или вершинами, а вместе полностью закрывают поверхность. Это определение помогает отличить геометрический паркет от рисунка, в котором остаются пустые места или одна фигура заходит на другую.
Правильный паркет составлен из одинаковых правильных многоугольников, то есть фигур с равными сторонами и равными углами. У каждой вершины такого паркета сходится одно и то же число плиток. Это условие позволяет искать подходящий узор, сравнивая углы одинаковых плиток.
Полуправильный паркет состоит из правильных многоугольников разных видов, расположенных вокруг каждой вершины в одном и том же порядке. Например, у каждой вершины могут одинаково повторяться квадраты и треугольники. Такое определение нужно, чтобы описывать узоры, где плитки не все одинаковы, но порядок их соседства сохраняется.
Конфигурация вершины — запись видов плиток и их порядка вокруг вершины паркета. В ней важно не только, сколько треугольников или квадратов сходится в точке, но и как они чередуются. Конфигурация помогает сравнивать вершины и проверять, повторяется ли устройство узора.
Вокруг любой точки плоскости можно мысленно провести полный оборот, равный 360°. Когда плитки сходятся у вершины, их внутренние углы занимают части этого оборота. Если сумма меньше 360°, между плитками останется незаполненный сектор; если больше — плитки не смогут разместиться рядом без наложения. Поэтому равенство суммы 360° необходимо для паркета.
У правильного n-угольника все внутренние углы одинаковы. Чтобы найти один такой угол, сумму внутренних углов 180°(n − 2) делят на число углов n: получается формула 180°(n − 2) / n. Например, у правильного пятиугольника угол равен 180° · 3 / 5 = 108°. Формула позволяет проверить, смогут ли целые одинаковые углы точно заполнить полный оборот.
Для правильного паркета у вершины сходится несколько одинаковых плиток, поэтому их угол нужно умножить на целое число. У равностороннего треугольника угол 60°, и шесть таких углов дают 360°; у квадрата угол 90°, и подходят четыре плитки. У правильного шестиугольника угол 120°, поэтому у вершины сходятся три плитки. Если целое число углов не даёт ровно 360°, соответствующий правильный многоугольник не образует правильный паркет.
Проверка ограничивает возможные виды плиток. У правильного пятиугольника угол 108°, а 360° на 108° без остатка не делится. У правильного многоугольника с семью и более сторонами угол больше 120°: три таких угла уже составят больше 360°, а двух недостаточно. Значит, одинаковые плитки для правильного паркета могут быть равносторонними треугольниками, квадратами или правильными шестиугольниками.
В полуправильном паркете углы могут быть разными, поэтому складывают углы всех многоугольников, сходящихся у вершины. Но одного равенства 360° недостаточно: плитки должны располагаться в заданном порядке и состыковываться сторонами. Например, сочетание треугольников и квадратов может дать нужную сумму, однако иной порядок этих же плиток может не продолжиться в целый узор. Поэтому конфигурацию проверяют наряду с углами.
Удачная конфигурация у одной вершины ещё не доказывает, что существует паркет на всей плоскости. Соседние вершины и стороны плиток тоже должны согласоваться, чтобы узор можно было продолжать без пустот и перекрытий. Поэтому проверка углов — первый шаг, а окончательно паркет отличает возможность непрерывно заполнить им всю плоскость.
| Вид плитки | Внутренний угол | Число плиток у вершины | Сумма углов у вершины | Образует паркет? |
|---|---|---|---|---|
| Равносторонний треугольник | 60° | 6 | 360° | Да |
| Квадрат | 90° | 4 | 360° | Да |
| Правильный пятиугольник | 108° | Целого числа нет | 360° не делится на 108° | Нет |
| Правильный шестиугольник | 120° | 3 | 360° | Да |
| Правильный многоугольник с большим числом сторон | Больше 120° при 7 и более сторонах | Целого числа нет | 2 угла меньше 360°, 3 — больше | Нет |
Сначала найдите внутренний угол плитки, затем проверьте, можно ли сложить из целого числа таких углов 360°. Если проверка пройдена, это указывает на подходящую конфигурацию у вершины; для существования паркета нужно ещё убедиться, что узор продолжается по всей плоскости. В таблице показаны случаи с одинаковыми правильными плитками.
Задача 1. Проверить, можно ли покрыть плоскость одинаковыми правильными пятиугольниками. Для правильного паркета у вершины должно сходиться целое число одинаковых углов, причём сумма должна быть ровно 360°. Поэтому сначала вычислим угол пятиугольника, а затем разделим полный угол на его величину. Так станет ясно, подходит ли плитка для такого покрытия.
Ответ: одинаковыми правильными пятиугольниками нельзя составить правильный паркет. Проверка выявляет невозможность уже у одной вершины, поэтому продолжать поиск узора не требуется.
Задача 2. Определить, сколько квадратных плиток сходится у вершины правильного паркета. У квадрата каждый внутренний угол прямой, то есть равен 90°. В правильном паркете у вершины должно быть целое число таких углов, которые вместе заполняют полный оборот. Найдём это число делением 360° на 90°.
Ответ: у каждой вершины сходятся четыре квадрата. Равенство суммы углов 360° показывает, что плитки подходят для правильного паркета.
Задача 3. Проверить возможность паркета, в котором у каждой вершины сходятся два равносторонних треугольника и два квадрата в заданном порядке. Здесь плитки имеют разные углы, поэтому нужно сложить углы всех четырёх фигур. Затем проверим, может ли их заданное расположение изменить результат. Углы при вершине зависят от вида плитки, а не от порядка, поэтому сначала можно проверить сумму.
Ответ: такой паркет невозможен, потому что сумма углов равна 300°, а не 360°. Проверять продолжение узора по всей плоскости уже не нужно: препятствие возникает у каждой вершины.
Первая ошибка — считать, что сумма 360° у одной вершины гарантирует существование паркета. Это условие показывает лишь, что плитки могут сойтись в одной точке, но не проверяет стыковку всего узора. Так думают, потому что локальная проверка выглядит полной. Проверьте себя: спросите, можно ли продолжить плитки по всей плоскости без щелей и наложений.
Вторая ошибка — подставлять вместо внутреннего угла внешний. Эти углы связаны, но не равны: например, у квадрата внутренний угол равен 90°, и именно его складывают вокруг вершины. Путаница возникает из-за того, что внешний угол тоже используют при изучении многоугольников. Перед вычислением подпишите, какой именно угол нужен, и сверьте его с формулой 180°(n − 2) / n.
Третья ошибка — учитывать только число плиток, не проверяя их виды и порядок в полуправильном паркете. Четыре плитки у вершины не обязательно заполнят 360°, ведь их углы могут быть разными. Кроме того, одинаковый набор многоугольников можно расположить в разном порядке. Сложите именно внутренние углы каждой плитки, а затем запишите их порядок вокруг вершины.
Четвёртая ошибка — называть паркетом любой повторяющийся узор. Красивый рисунок всё ещё может содержать промежутки или части фигур, наложенные друг на друга. Обычно это упускают, когда смотрят только на внешний вид или повторяемость орнамента. Проверьте стыки: покрыта ли вся плоскость и соприкасаются ли плитки без перекрытий.
Для изучения паркетов нужно различать многоугольники и знать, что правильная фигура имеет равные стороны и углы. Также пригодится умение находить сумму внутренних углов многоугольника и вычислять угол правильного многоугольника. Эти знания позволяют проверить, какие плитки могут сойтись у вершины. Позже паркеты помогают изучать симметрию и геометрические преобразования, а также создавать и анализировать орнаменты.
Что называют паркетом в геометрии?
Паркет — это покрытие плоскости многоугольниками без промежутков и наложений. Плитки соприкасаются сторонами и вершинами так, чтобы вместе полностью закрывать плоскость.
Почему углы плиток у вершины должны в сумме давать 360°?
Вокруг точки плоскость образует полный угол 360°. Поэтому углы всех плиток, сходящихся у одной вершины, должны заполнить его полностью: меньшая сумма оставит зазор, а большая приведёт к наложению.
Какие правильные многоугольники могут образовать правильный паркет?
Плоскость можно покрыть одинаковыми равносторонними треугольниками, квадратами или правильными шестиугольниками. У других правильных многоугольников внутренний угол не позволяет целому числу одинаковых плиток точно заполнить 360° у вершины.
Чем правильный паркет отличается от полуправильного?
В правильном паркете все плитки одинаковы и являются правильными многоугольниками. В полуправильном паркете используются разные виды правильных многоугольников, причём их порядок вокруг каждой вершины повторяется.
Достаточно ли проверить сумму углов у одной вершины, чтобы доказать существование паркета?
Нет. Сумма 360° показывает, что плитки могут сойтись у отдельной вершины без зазора и наложения. Но она сама по себе не доказывает, что плитки можно согласованно соединить и продолжить узор по всей плоскости.
§ 44*. Паркеты
