§ 45. Подобие треугольников. Первый признак подобия треугольников

Определения и обозначения

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Они могут быть разного размера, но имеют одну и ту же форму. Это понятие позволяет переносить известные свойства одного треугольника на другой.

Сходственные стороны и углы — элементы подобных треугольников, занимающие одинаковое положение относительно равных углов. Например, стороне AB соответствует сторона A₁B₁, если вершины A и A₁, B и B₁ являются соответствующими. Установить такое соответствие нужно до составления пропорции.

Коэффициент подобия — отношение длины стороны одного треугольника к длине сходственной стороны другого: k = AB/A₁B₁. Такое же отношение получится для любой пары сходственных сторон. Коэффициент помогает вычислять неизвестные длины.

Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. Обычно это записывают так: △ABC ∼ △A₁B₁C₁. Порядок букв показывает, какие вершины и стороны считаются соответствующими.

Как это устроено

Сначала в двух треугольниках находят равные углы и сопоставляют их вершины. Если ∠A = ∠A₁, то A и A₁ — соответствующие вершины; равенство ∠B = ∠B₁ аналогично связывает B и B₁. Оставшиеся вершины C и C₁ также образуют соответствующую пару.

Для первого признака достаточно двух равных углов, потому что сумма углов каждого треугольника равна 180°. Например, если ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, то ∠C = 180° − ∠A − ∠B, а ∠C₁ = 180° − ∠A₁ − ∠B₁. Значит, ∠C = ∠C₁, и все три пары соответствующих углов равны.

Равенство углов задаёт одинаковую форму треугольников: один из них можно мысленно увеличить или уменьшить без изменения углов. При таком изменении каждая сторона изменяется в одно и то же число раз. Поэтому отношения сходственных сторон равны: AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁.

Подобие записывают так, чтобы порядок вершин совпадал с соответствием углов. Если A соответствует A₁, B соответствует B₁, а C соответствует C₁, пишут △ABC ∼ △A₁B₁C₁. Из этой записи сразу видно, что AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ — сходственные стороны.

Коэффициент подобия связывает длины всех сходственных сторон одним отношением k. Если k = 2, каждая сторона первого треугольника в два раза больше соответствующей стороны второго; если k = ½, она в два раза меньше. Чтобы найти неизвестный отрезок, составляют пропорцию и используют известные длины.

Подобие треугольников и первый признак

Таблица показывает, какие условия приводят к выводу о подобии и что именно можно получить. В каждой строке сначала проверьте соответствие углов или сторон, а затем переходите к выводу. Для вычислений особенно полезна строка о коэффициенте подобия.

Разбор задач

Задача 1

Нужно определить, подобны ли треугольники ABC и A₁B₁C₁, если ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Данные углы уже задают соответствие вершин A—A₁ и B—B₁. Оставшиеся вершины C и C₁ также будут соответствующими.

1. В условии даны две пары равных соответствующих углов.
2. По первому признаку треугольники подобны.
3. Записываем результат с правильным порядком вершин: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

Ответ: треугольники подобны; соответствие вершин — A—A₁, B—B₁, C—C₁.

Задача 2

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны углы A и A₁, B и B₁; AB = 6 см, A₁B₁ = 9 см, AC = 8 см. Сначала нужно доказать подобие, а затем выбрать стороны, которые занимают одинаковое положение. Неизвестной стороне A₁C₁ соответствует сторона AC.

1. По двум равным углам △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
2. Составляем пропорцию: AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁.
3. Подставляем данные: 6/9 = 8/A₁C₁, откуда A₁C₁ = 8 · 9/6 = 12 см.

Ответ: A₁C₁ = 12 см.

Задача 3

Параллельные прямые AB и A₁B₁ пересекают стороны угла с вершиной O, поэтому рассматриваются треугольники OAB и OA₁B₁. Дано OA = 4 см, OA₁ = 10 см, OB = 6 см; требуется найти OB₁. Равные углы при O общие, а углы при A и A₁, при B и B₁ равны как соответственные при параллельных прямых.

1. По первому признаку △OAB ∼ △OA₁B₁, причём OA соответствует OA₁, а OB — OB₁.
2. Коэффициент перехода от первого треугольника ко второму равен OA₁/OA = 10/4 = 2,5.
3. Тогда OB₁ = OB · 2,5 = 6 · 2,5 = 15 см.

Ответ: OB₁ = 15 см.

Типичные ошибки

Сравнивают стороны, не являющиеся сходственными, потому что не устанавливают соответствие вершин. Ошибка появляется, когда стороны выбирают только по их названию или длине. Проверьте, соединяют ли они пары соответствующих вершин.

Считают треугольники подобными по одному равному углу. Одного угла недостаточно: у разных треугольников может быть один и тот же угол, но разная форма. Найдите вторую пару равных углов или примените другой известный признак.

Записывают пропорцию в разном порядке, например одну пару как стороны первого ко второму, а другую наоборот. Тогда равенство отношений нарушается. Во всех дробях сохраняйте один порядок: сначала первый треугольник, затем второй.

Путают подобие с равенством треугольников и считают, что все стороны должны быть равны. При подобии стороны пропорциональны, а не обязательно равны. Проверьте коэффициент: при k ≠ 1 размеры различаются.

Связь с другими темами

До изучения подобия нужны сумма углов треугольника, свойства равных углов, признаки равенства треугольников и свойства параллельных прямых. Эти знания помогают находить соответствующие элементы и обосновывать равенство углов.

Дальше подобие используется в задачах на пропорциональные отрезки, высоты и площади подобных фигур. Также этот материал подготавливает к изучению других признаков подобия треугольников.

Что запомнить

• Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные сходственные стороны.
• Сходственные элементы определяют по соответствию вершин.
• Для применения первого признака достаточно равенства двух соответствующих углов.
• Третий угол также равен, потому что сумма углов треугольника равна 180°.
• Отношения всех сходственных сторон равны одному коэффициенту подобия.
• Подобные треугольники могут иметь разные размеры, но одинаковую форму.