§ 46. Второй и третий признаки подобия треугольников

Определения и обозначения

Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум соответствующим сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны. Пропорциональны — значит, их отношения одинаковы. Этот признак нужен, когда известны две стороны и угол между ними, но не требуется отдельно находить остальные углы.

Третий признак подобия треугольников: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответствующим сторонам другого, то треугольники подобны. Достаточно сравнить длины сторон, не вычисляя углы. Признак особенно полезен, когда в условии даны все три стороны каждого треугольника.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон подобных треугольников. Например, если сторону второго треугольника делят на соответствующую сторону первого, коэффициент показывает, во сколько раз второй треугольник больше или меньше первого. Поэтому рядом с отношением всегда нужно понимать, в каком порядке взяты стороны.

Как это устроено

Сначала нужно понять, какие вершины и стороны соответствуют друг другу. Подсказкой служат равные углы: вершины при таких углах сопоставляют, а затем сравнивают стороны, которые выходят из этих вершин. Если равных углов не дано, соответствие может быть указано буквами в условии или определяться по известным длинам. Без этого шага можно составить отношения несоответствующих сторон и получить неверный вывод.

Во втором признаке равенства двух сторон и угла между ними достаточно, потому что эти данные задают форму треугольника. Если обе стороны увеличить в одно и то же число раз, их взаимное отношение не изменится, а одинаковый угол между ними сохранит способ их соединения. Поэтому получившиеся треугольники будут отличаться только размером. Оставшиеся углы также будут равны, и треугольники окажутся подобными.

Обосновать второй признак можно с помощью вспомогательной прямой, параллельной одной из сторон. Параллельность даёт равенство некоторых углов: при пересечении параллельных прямых секущей возникают равные соответственные или накрест лежащие углы. Вместе с равенством угла между пропорциональными сторонами это позволяет свести доказательство к первому признаку — подобию по двум углам. Такой приём объясняет, почему данные второго признака действительно гарантируют подобие.

Для третьего признака сравнивают все три пары соответствующих сторон. Представим, что стороны одного треугольника увеличили в одинаковое число раз, чтобы они совпали по длине со сторонами другого. Если отношения всех трёх пар одинаковы, после такого изменения совпадают все три стороны. Треугольники с одинаковыми тремя сторонами имеют одинаковую форму, поэтому исходные треугольники подобны.

В доказательстве удобно действовать в одном порядке: сначала записать соответствие вершин, затем проверить условия признака и только после этого сделать вывод. Для второго признака укажи две пропорции сторон и равенство углов между ними. Для третьего — три пропорции соответствующих сторон. В заключении назови треугольники в порядке соответствия вершин, например △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

Второй и третий признаки подобия треугольников

Пользуйся таблицей как короткой проверкой перед доказательством: сначала выбери признак по известным данным, затем проверь все его условия. Если применяешь второй признак, равный угол должен быть заключён между выбранными сторонами. Если применяешь третий, не пропускай третью пару сторон.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ даны AB = 6, AC = 9, A₁B₁ = 4, A₁C₁ = 6 и ∠A = ∠A₁. Докажем подобие. Сначала сопоставим вершины A и A₁: стороны AB и AC образуют угол A, а A₁B₁ и A₁C₁ — угол A₁.

1. Проверим отношения соответствующих сторон: AB / A₁B₁ = 6 / 4 = 1,5, а AC / A₁C₁ = 9 / 6 = 1,5.
2. Углы между этими сторонами равны по условию: ∠A = ∠A₁.
3. Две пары сторон пропорциональны, и углы между ними равны. По второму признаку △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Отношение сторон первого треугольника ко второму равно 1,5, что согласуется с выбранным порядком сравнения.

Задача 2. Стороны одного треугольника равны 5, 7 и 8, а стороны другого — 10, 14 и 16. Докажем подобие и найдём коэффициент подобия, считая его от первого треугольника ко второму. Стороны сопоставляем по их длинам: 5 с 10, 7 с 14, 8 с 16.

1. Проверим отношения соответствующих сторон: 10 / 5 = 2, 14 / 7 = 2 и 16 / 8 = 2.
2. Все три пары сторон пропорциональны с одним и тем же отношением. Поэтому по третьему признаку треугольники подобны.
3. Коэффициент от первого треугольника ко второму равен отношению стороны второго к соответствующей стороне первого: k = 10 / 5 = 2.

Ответ: треугольники подобны, коэффициент подобия от первого ко второму равен 2. Это означает, что каждая сторона второго треугольника в два раза длиннее соответствующей стороны первого.

Задача 3. В треугольниках ABC и DEF известно, что AB = 8, AC = 12, DE = 10, DF = 15, ∠A = ∠D. Найдём EF, если BC = 14. Стороны AB и AC сходятся в вершине A, а DE и DF — в D, поэтому равные углы заключены между выбранными сторонами.

1. Проверим пропорциональность сторон: AB / DE = 8 / 10 = 0,8 и AC / DF = 12 / 15 = 0,8. Кроме того, ∠A = ∠D.
2. По второму признаку △ABC ∼ △DEF; соответствие вершин такое: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Значит, стороне BC соответствует EF.
3. Отношение стороны второго треугольника к стороне первого равно DE / AB = 10 / 8 = 1,25. Поэтому EF = 14 · 1,25 = 17,5.

Ответ: EF = 17,5. Проверка порядка полезна: треугольник DEF в 1,25 раза больше ABC, значит его соответствующая сторона должна быть длиннее 14.

Типичные ошибки

Сравнивают стороны, не установив соответствие вершин. Тогда в пропорции могут оказаться стороны, которые не соответствуют друг другу, и отношения не совпадут. Ошибка часто возникает, когда ориентируются только на порядок букв, не проверяя углы и условие. Перед вычислениями запиши пары вершин и сторон, а после проверь, что сравниваемые стороны занимают одинаковое положение в треугольниках.

Для второго признака проверяют угол, который не заключён между пропорциональными сторонами. Равенство такого угла само по себе не связывает данные стороны нужным образом, поэтому условие признака не выполнено. Можно ошибиться, если заметить в задаче любой равный угол и не посмотреть, какие стороны его образуют. Проверь, что обе выбранные стороны выходят из вершины равного угла.

Для третьего признака считают достаточной пропорциональность двух пар сторон. Но по двум отношениям без равенства угла между сторонами подобие не следует: третий признак требует ещё и третью пропорцию. Обычно две пары проверяют потому, что третья кажется очевидной или не замечена в вычислениях. Для самопроверки выпиши все три пары соответствующих сторон и вычисли каждое отношение.

Путают направление коэффициента подобия. Отношение стороны первого треугольника ко второму является обратным отношению стороны второго к первому. Путаница появляется, когда коэффициент записывают без указания порядка, а затем умножают на него не ту длину. Подпиши, от какого треугольника к какому переходишь, и проверь результат: при коэффициенте больше 1 второй треугольник должен быть крупнее первого.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужно знать определение подобных треугольников и понимать, что их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. Также пригодится свойство пропорциональных отрезков и первый признак подобия по двум углам: он помогает объяснить второй признак через вспомогательную параллельную прямую. Новые признаки, в свою очередь, позволяют находить неизвестные стороны и углы и доказывать подобие. Они часто встречаются в задачах с параллельными прямыми, где равные углы помогают установить соответствие вершин.

Что запомнить

• Второй признак: две пары пропорциональных сторон и равные углы между ними.
• Третий признак: пропорциональны все три пары соответствующих сторон.
• Перед сравнением сторон нужно установить соответствие вершин.
• При подобии отношения соответствующих сторон одинаковы.
• Во втором признаке равенство нужно именно для угла между выбранными сторонами.
• После доказательства подобия неизвестные стороны можно находить через коэффициент подобия.