§ 14. Второй и третий признаки подобия треугольников

Определения и обозначения

Соответствующие стороны — стороны двух треугольников, лежащие напротив равных углов и сопоставляемые при подобии. Например, если вершины A и A₁ соответствуют друг другу, то стороны, лежащие напротив них, тоже соответствуют. Такое сопоставление нужно, чтобы верно составить пропорцию.

Угол между сторонами — угол, образованный двумя сторонами треугольника, отношение которых рассматривается. Для сторон AB и AC это угол A. Это уточнение необходимо во втором признаке: подходит только угол, заключённый между выбранными сторонами.

Второй признак подобия треугольников означает, что подобие устанавливается по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними. Например, AB / A₁B₁ = AC / A₁C₁ и ∠A = ∠A₁. Признак позволяет доказать подобие без сравнения третьих сторон.

Третий признак подобия треугольников — подобие устанавливается по пропорциональности трёх пар соответствующих сторон. Если AB / A₁B₁ = BC / B₁C₁ = AC / A₁C₁, то треугольники подобны. Этот признак удобен, когда известны длины всех сторон.

Как это устроено

Чтобы применить второй признак, сначала выбирают две стороны каждого треугольника, отношения которых равны. Затем проверяют угол, образованный именно этими сторонами: он должен быть равен соответствующему углу другого треугольника. После этого треугольники признаются подобными, потому что совпадают форма и масштаб по двум сторонам и включённому углу.

Равенство угла между пропорциональными сторонами связывает обе пары сторон в единую конструкцию. Поэтому стороны задают одинаковое соотношение, а равные углы задают одинаковое направление этих сторон. Из этого можно сопоставить оставшиеся углы, и они окажутся равными; тогда подобие подтверждается первым признаком — по двум равным углам.

При третьем признаке сравнивают три пары сторон и записывают три отношения с одним и тем же значением. Сначала нужно определить соответствие вершин: сторона, противоположная одной вершине, сопоставляется со стороной, противоположной соответствующей вершине. Если все три отношения равны, форма треугольников совпадает, хотя размеры могут быть различными.

В третьем признаке равенство углов отдельно доказывать не требуется. Пропорциональность трёх сторон уже заставляет углы, расположенные напротив соответствующих сторон, быть равными: иначе треугольники имели бы разную форму при одном и том же масштабе. Поэтому из условия сразу следует подобие, а равенство углов является его результатом.

После доказательства подобия пропорцию записывают в том же порядке, в каком перечислены соответствующие вершины. Если △ABC ∼ △DEF, то AB / DE = BC / EF = AC / DF = k. Число k называют коэффициентом подобия, и с его помощью находят неизвестную сторону: например, EF = BC / k, если k = BC / EF.

Второй и третий признаки подобия треугольников

Сначала определите, какие данные известны в задаче, а затем выберите подходящую строку. Если дан равный угол между двумя пропорциональными сторонами, применяется второй признак.

Если известны отношения всех трёх пар сторон, используется третий признак. После вывода о подобии таблица помогает правильно записать соответствие и коэффициент.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ дано: AB / A₁B₁ = AC / A₁C₁ = 3 / 2, ∠A = ∠A₁. Требуется доказать подобие и найти коэффициент. Равные углы заключены между указанными сторонами.

1. Сопоставляем AB с A₁B₁, а AC с A₁C₁.
2. По второму признаку получаем △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
3. Коэффициент подобия первого треугольника ко второму равен k = 3 / 2.

Ответ: треугольники подобны, k = 3 / 2.

Задача 2. Стороны двух треугольников равны 6 см, 8 см, 10 см и 9 см, 12 см, 15 см. Нужно установить подобие и найти коэффициент. Стороны сопоставим по возрастанию, потому что тогда сохраняется их взаимное положение.

1. Проверяем отношения: 6 / 9 = 2 / 3, 8 / 12 = 2 / 3, 10 / 15 = 2 / 3.
2. Все три отношения равны, значит, выполнено условие третьего признака.
3. Коэффициент подобия первого треугольника ко второму: k = 2 / 3.

Ответ: треугольники подобны, k = 2 / 3.

Задача 3. В треугольниках ABC и DEF: AB / DE = AC / DF = 2 / 3, ∠A = ∠D, BC = 10 см. Нужно найти EF. Стороны AB и AC заключают угол A, а DE и DF — угол D.

1. По второму признаку △ABC ∼ △DEF, поскольку две стороны пропорциональны и заключённые между ними углы равны.
2. Из порядка вершин следует соответствие BC ↔ EF.
3. Имеем BC / EF = 2 / 3, поэтому 10 / EF = 2 / 3 и EF = 15 см.

Ответ: EF = 15 см; треугольники подобны.

Типичные ошибки

Неверное соответствие сторон. Стороны иногда сопоставляют по названию, а не по соответствующим вершинам. Из-за этого отношения получают разные значения. Проверьте, что во всех дробях вершины стоят в одном порядке.

Не тот угол во втором признаке. Ученик может взять любой равный угол, хотя нужен угол между рассматриваемыми сторонами. Ошибка возникает из-за невнимательного чтения условия. Мысленно отметьте две стороны и убедитесь, что их общая вершина образует нужный угол.

Две стороны для третьего признака. Пропорциональность двух сторон сама по себе не доказывает подобие по третьему признаку. Третья пара сторон может иметь другое отношение. Перед применением признака выпишите и сравните все три отношения.

Обратный коэффициент. Если коэффициент записан как отношение сторон первого треугольника ко второму, нельзя при вычислении использовать обратное отношение. Такая ошибка меняет искомую длину. Сначала запишите формулу с соответствующими сторонами, а затем подставляйте числа.

Связь с другими темами

Для этих признаков нужны первый признак подобия, равенство углов, пропорции и свойства пропорции. Эти знания помогают переходить от условий задачи к правильному сопоставлению вершин и сторон.

Подобие пригодится при нахождении неизвестных сторон и углов. Если известен коэффициент, длины соответствующих сторон можно быстро выразить друг через друга.

Признаки подобия используются при изучении прямоугольных треугольников, доказательстве теоремы Пифагора и вычислении площадей. Они позволяют заменить сложную фигуру более простой, сохранив её форму.

Что запомнить

• Второй признак: две пропорциональные стороны и равный угол между ними.
• Третий признак: три пары пропорциональных соответствующих сторон.
• При записи пропорции порядок соответствующих сторон должен быть одинаковым.
• Во втором признаке важен именно угол между рассматриваемыми сторонами.
• После доказательства подобия соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
• Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон в установленном порядке.