Теорема Птолемея

Определения и обозначения

Вписанный четырёхугольник — четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Обозначим его вершины по порядку ABCD. Это условие нужно проверить первым, потому что теорема Птолемея действует именно для такой фигуры.

Противоположные стороны — пары сторон, не имеющие общей вершины: AB и CD, BC и AD. Например, AB и BC соседние, так как встречаются в точке B. Такое различие необходимо, чтобы правильно составить два произведения в формуле.

Диагонали четырёхугольника — отрезки, соединяющие противоположные вершины. В ABCD это AC и BD, причём они пересекаются внутри выпуклого четырёхугольника. Именно произведение длин этих отрезков стоит в левой части теоремы.

Теорема Птолемея — утверждение о связи сторон и диагоналей вписанного четырёхугольника. Она позволяет заменить произведение диагоналей суммой произведений противоположных сторон. Поэтому по известным пяти отрезкам можно найти шестой.

Как это устроено

Сначала вписанный четырёхугольник ABCD изображают так, чтобы все его вершины находились на одной окружности. Стороны идут по порядку: AB, BC, CD, DA, а диагонали соединяют вершины через одну: AC и BD. Такая запись помогает не перепутать стороны с диагоналями и сразу видеть пары противоположных сторон.

Общая окружность необходима потому, что она связывает углы фигуры. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, а противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°. Если вершины не лежат на одной окружности, этих равенств может не быть, поэтому вывод теоремы теряет основание.

Чтобы получить связь длин, проводят диагональ и рассматривают треугольники, образованные сторонами и диагоналями. Равенство вписанных углов даёт пары равных углов, значит, некоторые треугольники подобны. Из подобия получают пропорции, перемножают их и после сложения равенств приходят к произведению диагоналей и двум произведениям противоположных сторон.

Итог записывают так: AC·BD = AB·CD + BC·AD. Левая часть содержит диагонали, а правая — сначала одну пару противоположных сторон, затем другую. Если неизвестна сторона, переносят известное произведение в другую часть и делят на оставшийся множитель; для диагонали выполняют такое же преобразование.

Элементы и формула теоремы Птолемея

Пользуйтесь таблицей как проверочным планом: сначала найдите диагонали и две пары противоположных сторон. Затем подставьте длины в формулу, соблюдая порядок произведений. Если одна величина неизвестна, оставьте её буквой и преобразуйте равенство.

Разбор задач

Задача 1

ABCD — прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Нужно подтвердить длину его диагонали с помощью теоремы Птолемея. Прямоугольник можно вписать в окружность, потому что его противоположные углы прямые и в сумме дают 180°.

1. Пусть AB = CD = 3 см, а BC = AD = 4 см; диагонали прямоугольника равны, поэтому AC = BD = d.
2. Подставим данные: d² = 3·3 + 4·4 = 9 + 16 = 25.
3. Так как длина отрезка положительна, d = √25 = 5 см.

Получили AC = BD = 5 см. Теорема Птолемея дала тот же результат, что и теорема Пифагора, но использовала свойства вписанного четырёхугольника.

Задача 2

Вписанный четырёхугольник ABCD имеет AC = 8 см, BD = 9 см, AB = 3 см, BC = 4 см, CD = 6 см. Требуется найти AD. Общая окружность уже указана, поэтому формулу Птолемея применять можно.

1. Запишем 8·9 = 3·6 + 4·AD.
2. Вычислим известные произведения: 72 = 18 + 4·AD, откуда 4·AD = 54.
3. Разделим на 4: AD = 13,5 см.

Ответ: AD = 13,5 см. Проверка обратной подстановкой даёт 8·9 = 3·6 + 4·13,5 = 72, значит, преобразование выполнено верно.

Задача 3

Все стороны вписанного четырёхугольника равны 6 см, а диагонали равны. Найдём длину каждой диагонали. Обозначим обе диагонали буквой d, чтобы использовать дополнительное условие сразу.

1. По теореме Птолемея d·d = 6·6 + 6·6.
2. Получаем d² = 36 + 36 = 72.
3. Следовательно, d = √72 = 6√2 см, поскольку длина диагонали положительна.

Ответ: каждая диагональ равна 6√2 см. Здесь равенство диагоналей превратило произведение AC·BD в квадрат одной неизвестной длины.

Типичные ошибки

Теорему применяют к любому четырёхугольнику, не проверяя окружность. Так поступают, потому что сама формула похожа на обычное алгебраическое равенство. Проверьте, сказано ли, что все вершины лежат на одной окружности, или доказано ли это свойство.

Вместо противоположных сторон берут соседние и записывают AB·BC или CD·AD. Ошибка появляется из-за того, что стороны перечислены подряд и их легко соединить по порядку. Проверьте каждую пару: у её сторон не должно быть общей вершины.

Диагонали AC и BD путают со сторонами. Обычно это происходит, когда смотрят только на буквы, но не на соединяемые вершины. Проверьте: диагональ соединяет вершины через одну, а сторона — соседние вершины.

При преобразовании формулы делят только одно слагаемое на известный множитель. Например, из 4x = 54 нельзя получить x = 54, забыв разделить всё равенство на 4. Сначала перенесите слагаемое, затем выделите произведение с неизвестным и разделите всю его правую часть на множитель.

Связь с другими темами

Для понимания теоремы нужны определения вписанного четырёхугольника, свойства вписанных углов и признаки подобия треугольников. Именно равенства углов и подобие объясняют, откуда берётся формула.

Теорема пригодится при нахождении сторон и диагоналей вписанных четырёхугольников, а также в задачах об окружности и правильных многоугольниках. Она помогает связывать несколько отрезков одним равенством.

Её можно сопоставить с формулой диагонали прямоугольника, свойствами квадрата и свойствами хорд окружности. В некоторых задачах один и тот же результат удобно получить разными способами.

Что запомнить

• Теорема Птолемея относится к вписанному четырёхугольнику.
• Произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
• Формула имеет вид AC·BD = AB·CD + BC·AD.
• Перед применением теоремы нужно проверить наличие общей окружности для всех вершин.
• Важно не перепутать противоположные и соседние стороны.
• Из формулы можно найти неизвестную сторону или диагональ.