Теорема Птолемея

Определения и обозначения

Вписанный четырёхугольник — выпуклый четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Например, если вершины A, B, C и D находятся на окружности, четырёхугольник ABCD вписан в неё. Это определение нужно запомнить, потому что теорема Птолемея применяется именно к такому четырёхугольнику, а не к любому.

Противоположные стороны — пары сторон, которые не имеют общей вершины. В ABCD это AB и CD, а также BC и AD. Если идти по контуру четырёхугольника, легко заметить: у соседних сторон есть общая точка, а у противоположных — нет. Это различие помогает правильно подставить длины в формулу.

Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. У четырёхугольника ABCD диагонали — AC и BD. Они проходят внутри выпуклого четырёхугольника и соединяют вершины через одну. Их длины входят в левую часть равенства Птолемея.

Теорема Птолемея связывает длины диагоналей вписанного четырёхугольника с длинами его противоположных сторон. Произведение диагоналей равно сумме произведений двух пар противоположных сторон. С помощью этого равенства можно находить неизвестную сторону или диагональ, если остальные длины известны.

Как это устроено

Для вписанного четырёхугольника ABCD теорема записывается так: AC · BD = AB · CD + BC · AD. В произведении AC · BD участвуют две диагонали; в AB · CD — стороны одной противоположной пары, а в BC · AD — стороны другой пары. Сначала полезно подписать на чертеже все нужные отрезки, а затем перенести их в формулу: так меньше риск перепутать стороны.

Чтобы найти пары противоположных сторон, сначала обойди четырёхугольник по контуру: AB, BC, CD, DA. Стороны, стоящие рядом в этом списке, имеют общую вершину и являются соседними. Поэтому противоположными будут AB и CD, а также BC и AD. Такой способ надёжнее, чем выбирать стороны только по тому, как они расположены на рисунке: фигура может быть наклонена или нарисована непривычно.

Условие вписанности существенно, потому что формула выведена для четырёхугольника с вершинами на одной окружности. У произвольной фигуры длины сторон и диагоналей могут не удовлетворять этому равенству. Поэтому перед подстановкой проверь, что по условию задачи четырёхугольник вписан или это уже доказано. Одного внешнего сходства с вписанной фигурой недостаточно.

Идею доказательства можно увидеть через вспомогательный треугольник и подобие треугольников. На диагонали выбирают точку и проводят отрезок так, чтобы получился треугольник, связанный с исходной фигурой. Углы, опирающиеся на одинаковые дуги окружности, равны, поэтому некоторые треугольники оказываются подобными. Из отношений их соответствующих сторон получают пропорции, а после умножения и сложения равенство, связывающее диагонали с противоположными сторонами.

Если нужно найти неизвестную длину, теорему превращают в уравнение. Например, при неизвестной диагонали BD из AC · BD = AB · CD + BC · AD следует BD = (AB · CD + BC · AD) / AC, если AC не равна нулю. Если неизвестна сторона AD, можно выразить её так: AD = (AC · BD − AB · CD) / BC. Перед вычислением проверь, что делитель известен и отличен от нуля, а затем подставляй длины.

Теорема Птолемея для вписанного четырёхугольника ABCD

Сначала найди в таблице отрезки, которые известны по условию, и соотнеси их с обозначениями. Затем составь равенство и подставь длины, сохраняя произведения и сумму на своих местах. Если условие вписанности не выполнено или не установлено, применять соотношение нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Вписанный четырёхугольник ABCD имеет AB = 3, BC = 4, CD = 5, DA = 6 и AC = 3. Найдём BD по теореме Птолемея. Неизвестная диагональ входит в произведение диагоналей, а остальные длины позволяют вычислить правую часть. Подстановка даёт BD = (AB · CD + BC · AD) / AC = (3 · 5 + 4 · 6) / 3.

1. Запишем формулу: AC · BD = AB · CD + BC · AD.
2. Подставим значения: 3 · BD = 3 · 5 + 4 · 6 = 15 + 24 = 39.
3. Разделим обе части на 3: BD = 13.

Ответ: по формуле BD = 13. Однако заданные длины сторон и AC не образуют реальный такой четырёхугольник: треугольник ACD должен иметь стороны 6, 5 и 3, что невозможно, поскольку 6 + 3 меньше 5 не будет, но для замыкания его на чертеже также требуется проверить неравенство треугольника; здесь 5 + 3 больше 6 и все неравенства выполнены. Значит, вычисление по теореме даёт искомую диагональ.

Задача 2

Прямоугольник со сторонами 6 и 8 вписан в окружность. Чтобы проверить теорему, нужно вычислить оба выражения из равенства. У прямоугольника диагонали равны, а каждая диагональ вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник. Поэтому длину диагонали удобно найти по теореме Пифагора.

1. Вычислим диагональ: √(6² + 8²) = √100 = 10. Значит, AC = BD = 10.
2. Найдём произведение диагоналей: AC · BD = 10 · 10 = 100.
3. Найдём сумму произведений противоположных сторон: 6 · 6 + 8 · 8 = 36 + 64 = 100.

Ответ: равенство выполняется, поскольку обе его части равны 100. Прямоугольник действительно вписан в окружность: его противоположные углы в сумме дают 180°. Полученное совпадение подтверждает теорему для этого примера.

Задача 3

Вписанный четырёхугольник ABCD имеет AC = 13, BD = 14, AB = 5, BC = 8, CD = 6. Требуется найти DA. Неизвестная сторона AD входит в произведение BC · AD, поэтому после подстановки получится линейное уравнение. Чтобы выделить AD, сначала вычислим произведения с известными длинами.

1. Запишем теорему: AC · BD = AB · CD + BC · AD.
2. Подставим числа: 13 · 14 = 5 · 6 + 8 · AD, то есть 182 = 30 + 8 · AD.
3. Вычтем 30: 152 = 8 · AD. Разделим на 8 и получим AD = 19.

Ответ: DA = 19. Проверка: 5 · 6 + 8 · 19 = 30 + 152 = 182, а 13 · 14 тоже равно 182. Обе части теоремы совпали.

Типичные ошибки

Первая ошибка — применять теорему к любому четырёхугольнику, не проверяя его вписанность. Так поступают, когда запоминают формулу, но забывают условие, от которого она зависит. Перед решением найди в условии указание, что фигура вписана в окружность, или докажи это отдельно.

Вторая ошибка — перемножать соседние стороны вместо противоположных. Её легко допустить, если смотреть на положение отрезков на рисунке, а не на их вершины. Проверь каждую пару: у AB и CD нет общей вершины, как и у BC и AD.

Третья ошибка — менять местами части равенства: складывать произведения диагоналей или приравнивать одно произведение сторон произведению диагоналей. Причина обычно в том, что формулу вспоминают по отдельным словам, а не целиком. Для проверки проговори её: произведение двух диагоналей равно сумме двух произведений противоположных сторон.

Четвёртая ошибка — складывать длины внутри каждого произведения. Например, вместо AB · CD записывать AB + CD. Это происходит, когда при подстановке теряется структура формулы. Сначала расставь скобки или знаки умножения по исходной записи и только потом вычисляй каждое произведение.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужно знать элементы четырёхугольника: вершины, стороны и диагонали, а также понимать, что означает вписанность в окружность. Свойства углов вписанного четырёхугольника помогают распознавать такие фигуры и обосновывать применение формулы. Если эти понятия знакомы, можно сосредоточиться на выборе нужных отрезков и вычислениях.

Теорема пригодится в задачах на длины отрезков, связанных с окружностью, когда обычных свойств сторон и углов недостаточно. Она входит в метрические соотношения геометрии — формулы, которые связывают длины отрезков. Её удобно сочетать с теоремой Пифагора и другими известными соотношениями, чтобы находить неизвестные величины.

Что запомнить

• Теорема Птолемея применяется к вписанному четырёхугольнику.
• Произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
• Для ABCD формула имеет вид AC · BD = AB · CD + BC · AD.
• Перед подстановкой длин проверь, какие стороны являются противоположными.
• Равенство можно использовать для нахождения неизвестной стороны или диагонали.