§ 14. Второй и третий признаки подобия треугольников

Определения и обозначения

Соответственные стороны — стороны двух треугольников, которые занимают одинаковое положение при сопоставлении их вершин. Например, если вершины A, B, C соответствуют вершинам D, E, F, то сторонам AB, BC, AC соответствуют DE, EF, DF. Это помогает составить отношения в правильном порядке.

Угол между сторонами — угол, образованный двумя выбранными сторонами, то есть угол с вершиной в точке их пересечения. Например, между AB и AC находится угол A. Во втором признаке сравнивают именно такие углы, а не любой угол треугольника.

Второй признак подобия треугольников утверждает: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум соответствующим сторонам другого, а углы между ними равны, то треугольники подобны. Пропорциональны — значит, их отношения равны. Признак позволяет доказать подобие, не находя третью сторону.

Третий признак подобия треугольников: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответствующим сторонам другого, то треугольники подобны. Проверяют сразу все три пары сторон. Этот признак удобен, когда известны длины сторон, но не даны углы.

Как это устроено

Чтобы применить второй признак, сначала выбери две стороны в каждом треугольнике и установи, какие из них соответствуют друг другу. Затем проверь, равны ли отношения этих сторон, например AB/DE = AC/DF. После этого сравни углы, образованные именно выбранными сторонами: ∠A и ∠D. Если отношения равны и углы равны, форма треугольников совпадает с точностью до масштаба, поэтому они подобны.

Угол между сторонами важен потому, что он задаёт их взаимное расположение. Две пропорциональные стороны сами по себе ещё не определяют форму треугольника: стороны могут расходиться под разными углами. Равенство заключённых между ними углов устраняет эту неопределённость. Поэтому равенство угла, который не образован выбранными сторонами, не заменяет условие второго признака.

Для третьего признака сопоставь стороны двух треугольников и проверь три отношения, например AB/DE, BC/EF и AC/DF. Если все три отношения равны одному числу, стороны изменены в одном и том же масштабе. Значит, размеры треугольников могут различаться, но их форма остаётся одинаковой. По третьему признаку треугольники подобны.

Соответствие вершин удобно определять до вычислений. Если известны равные углы, сопоставь вершины при этих углах; если углы не указаны, ориентируйся на порядок сторон в условии или сопоставь длины по заданным парам. Записывай название подобия в согласованном порядке, например △ABC ∼ △DEF. Тогда первая вершина соответствует первой, вторая — второй, третья — третьей, а стороны можно сопоставить без перестановок.

После доказательства подобия соответствующие стороны относятся как коэффициент подобия. Если k — отношение стороны второго треугольника к стороне первого, то каждая сторона второго равна соответствующей стороне первого, умноженной на k. Найди k по паре известных сторон, затем составь такую же пропорцию для неизвестной длины. Перед вычислением проверь, что в числителях и знаменателях стоят стороны в одном порядке.

Второй и третий признаки подобия треугольников

В таблице собраны условия двух признаков и то, что можно делать после доказательства подобия. Сначала определи, какие данные известны, и выбери подходящий столбец. В обоих случаях внимательно проверь соответствие сторон и вершин.

Разбор задач

Задача 1. В двух треугольниках две стороны равны соответственно 6 и 9 см, 8 и 12 см. Угол между сторонами первого треугольника равен углу между сторонами второго и составляет 50°. Определить, подобны ли треугольники, и указать коэффициент подобия. Нужно проверить равенство отношений сторон и равенство заключённых между ними углов.

1. Сопоставим стороны: 6 см соответствует 9 см, а 8 см — 12 см.
2. Проверим отношения: 6/9 = 2/3, и 8/12 = 2/3. Значит, выбранные пары сторон пропорциональны.
3. Углы между этими сторонами равны: оба составляют 50°. Условия второго признака выполнены.
4. Треугольники подобны. Если коэффициент считать от первого треугольника ко второму, k = 9/6 = 12/8 = 3/2.

Задача 2. Стороны одного треугольника равны 5, 7 и 8 см, а стороны другого — 10, 14 и 16 см. Доказать подобие и найти коэффициент подобия. Сопоставим стороны по порядку, а затем сравним отношения всех трёх пар.

1. Составим отношения сторон второго треугольника к сторонам первого: 10/5 = 2, 14/7 = 2, 16/8 = 2.
2. Все три отношения равны, следовательно, стороны треугольников пропорциональны.
3. По третьему признаку треугольники подобны. Коэффициент подобия от первого треугольника ко второму равен k = 2.

Задача 3. Подобные треугольники имеют стороны первого треугольника 7, 9 и 12 см. Наибольшая сторона второго равна 18 см. Найти две остальные стороны и периметр второго треугольника. Сначала сопоставим наибольшие стороны: 12 см и 18 см.

1. Найдём коэффициент перехода от первого треугольника ко второму: k = 18/12 = 3/2.
2. Умножим остальные стороны первого треугольника на k: 7 · 3/2 = 10,5 см; 9 · 3/2 = 13,5 см.
3. Сложим стороны второго треугольника: 10,5 + 13,5 + 18 = 42 см.

Ответ: стороны второго треугольника — 10,5 см и 13,5 см, его периметр — 42 см.

Типичные ошибки

Если сравнить несоответствующие стороны, отношения обычно окажутся разными, хотя треугольники могут быть подобны. Такая ошибка возникает, когда начинают считать, не сопоставив вершины и стороны. Перед записью пропорции обозначь пары соответствующих элементов и проверь порядок букв в записи подобия.

Иногда во втором признаке выбирают угол, который не заключён между пропорциональными сторонами. Ученик может решить, что равенство любого угла подходит, потому что все углы относятся к одному треугольнику. Проверь, образован ли сравниваемый угол именно выбранными сторонами; если нет, условие признака не выполнено.

Для третьего признака бывает достаточно проверить только две пары сторон, и на этом сделать вывод о подобии. Но две пропорциональные пары не гарантируют пропорциональность третьей. Выпиши все три отношения сторон и сравни их значения — каждый раз должно получаться одно и то же число.

Коэффициент подобия нередко записывают наоборот: вместо отношения сторон второго треугольника к первому берут обратное отношение. Тогда длина неизвестной стороны получается неверной. Подпиши, от какого треугольника к какому переходишь, и сохраняй этот порядок во всех дробях пропорции.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужно знать определение подобных треугольников, уметь находить отношения сторон и применять свойства пропорции. Также важно понимать, как обозначают равные углы, соответствующие вершины и стороны. Эти знания позволяют не только доказать подобие, но и решать задачи на длины, периметры и отношения отрезков. Признаки служат основанием для таких выводов.

Что запомнить

• Во втором признаке сравнивают две пары сторон и углы между ними.
• Стороны во втором признаке должны быть пропорциональны.
• В третьем признаке пропорциональны все три пары соответствующих сторон.
• Порядок соответствия сторон в отношениях должен быть одинаковым.
• После доказательства подобия соответствующие стороны относятся как коэффициент подобия.
• Равенство или пропорциональность отдельных элементов без выполнения всех условий признака не доказывает подобие.