Прямая Эйлера

Определения и обозначения

Прямая Эйлера — прямая, на которой в общем случае лежат ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности треугольника. Эти точки обозначают соответственно H, G и O. Свойство позволяет связать несколько разных построений в одну геометрическую картину.

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему. Эта точка равноудалена от всех вершин, поэтому именно из неё можно провести окружность через A, B и C.

Центр тяжести треугольника — точка пересечения его медиан. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, а три медианы пересекаются в одной точке G. Она всегда находится внутри треугольника и делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Высота проводится из вершины перпендикулярно противоположной стороне или её продолжению. Ортоцентр помогает учитывать форму треугольника: в остроугольном он внутри, в прямоугольном совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном находится вне.

Как это устроено

Чтобы построить O, найдите середины двух сторон треугольника и проведите через них серединные перпендикуляры. Достаточно двух таких прямых: если они пересеклись в точке O, третий серединный перпендикуляр пройдёт через неё тоже. Причина в том, что точка, равноудалённая от концов одного отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре, а у всех трёх вершин одна и та же равноудалённая точка.

Для построения G проведите две медианы: соедините вершину с серединой противоположной стороны. Их пересечение и есть центр тяжести, а третья медиана также проходит через него. Это происходит потому, что медианы треугольника имеют общую точку, в которой равновесно распределяется его масса, если считать треугольник однородной пластинкой.

Чтобы найти H, из двух вершин проведите высоты, то есть перпендикуляры к противоположным сторонам. Если стороны приходится продолжать, высота строится к продолжению стороны. Пересечение двух высот определяет ортоцентр, потому что третья высота обязательно проходит через ту же точку.

Точки O, G и H оказываются на одной прямой не случайно: координаты этих центров выражаются через координаты вершин треугольника. Центр тяжести получается усреднением координат вершин, а положения O и H связаны с перпендикулярностью и равенством расстояний. После подстановки оказывается, что G делит отрезок OH в постоянной пропорции, поэтому все три точки коллинеарны.

На прямой точки расположены в порядке O, G, H или H, G, O: центр тяжести всегда находится между двумя другими точками. Отрезок OG составляет одну треть отрезка OH, а GH — две трети. Поэтому OG:GH = 1:2 и OH = 3·OG.

В равностороннем треугольнике медианы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, поэтому O, G и H — одна точка. В равнобедренном треугольнике все эти линии симметричны относительно перпендикуляра к основанию. Поэтому прямая Эйлера совпадает с осью симметрии, если точки не слились в одну.

Замечательные точки треугольника и их связь на прямой Эйлера

Таблица помогает быстро сопоставить обозначение точки с её построением и положением. Для решения задачи сначала определите, о какой точке говорится, затем используйте соответствующее построение или соотношение. Если треугольник особый, проверьте, не совпадают ли некоторые линии и точки.

Разбор задач

Задача 1

Условие: в треугольнике ABC постройте центр описанной окружности, центр тяжести и ортоцентр. Проведите прямую Эйлера. Нужно получить точки разными способами и убедиться, что они лежат на одной прямой.

1. Найдите середины двух сторон и проведите через них серединные перпендикуляры. Их пересечение обозначьте O.
2. Найдите середины двух сторон, соедините их с противоположными вершинами и получите две медианы. Их пересечение обозначьте G.
3. Проведите из двух вершин перпендикуляры к противоположным сторонам или их продолжениям. Точку пересечения высот обозначьте H.
4. Проведите прямую через O и G. Проверьте, что H лежит на ней, а G находится между O и H.

Ответ: прямая, проходящая через найденные O, G и H, является прямой Эйлера. В построении полезно проверять не только совпадение линий, но и отношение OG:GH = 1:2.

Задача 2

Условие: известно, что OG = 4 см, а точки O, G и H лежат на прямой Эйлера. Найдите GH и OH. По свойству прямой G находится между O и H.

1. Используйте отношение OG:GH = 1:2: отрезок GH в два раза длиннее OG.
2. Вычислите GH = 2 · 4 = 8 см.
3. Так как G лежит между O и H, сложите соседние отрезки: OH = OG + GH = 4 + 8 = 12 см.

Ответ: GH = 8 см, OH = 12 см. Проверка показывает, что OH = 3·OG = 3 · 4 = 12 см.

Задача 3

Условие: A(0; 0), B(6; 0), C(0; 4). Найдите координаты O, G и H, составьте уравнение прямой Эйлера и проверьте коллинеарность. Угол A прямой, поэтому ортоцентр сразу совпадает с A.

1. Гипотенуза BC имеет середину (3; 2), поэтому O(3; 2) — центр описанной окружности прямоугольного треугольника.
2. Для центра тяжести усредните координаты вершин: G((0 + 6 + 0)/3; (0 + 0 + 4)/3) = G(2; 4/3).
3. Так как треугольник прямоугольный при A, H(0; 0).
4. Через O и H найдите угловой коэффициент: (2 − 0)/(3 − 0) = 2/3. Уравнение прямой имеет вид y = 2x/3.
5. Для G получаем 2 · 2/3 = 4/3, значит G удовлетворяет уравнению. Точки O и H также ему удовлетворяют.

Ответ: O(3; 2), G(2; 4/3), H(0; 0), прямая Эйлера: y = 2x/3. Все три точки коллинеарны, поскольку лежат на одном уравнении прямой.

Типичные ошибки

Центр описанной окружности путают с центром вписанной окружности, потому что оба связаны с окружностями и треугольником. Но O строят серединными перпендикулярами, а центр вписанной окружности — биссектрисами углов. Проверяйте не название, а линию, пересечением которой получена точка.

Иногда через вершины проводят медианы или высоты, но неверно отмечают их пересечение. Ошибка возникает, если середину стороны находят приблизительно или забывают продолжить сторону при тупом угле. Проверьте определение каждой линии и постройте минимум две линии одного вида.

В отношении отрезков меняют местами части и записывают GH:OG = 1:2. По правилу прямой Эйлера именно OG короче, поэтому правильная запись — OG:GH = 1:2. Полезно представить отрезок OH из трёх равных частей: OG занимает одну, GH — две.

Считают, что в равностороннем треугольнике существует одна определённая прямая Эйлера. На самом деле O, G и H совпадают, а через одну точку можно провести бесконечно много прямых. Поэтому в этом случае говорят о совпадении трёх точек, а не об особой единственной прямой.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны определения медианы, высоты и серединного перпендикуляра, а также свойства равнобедренного и равностороннего треугольников. Они объясняют построение всех трёх центров и поведение прямой Эйлера в частных случаях.

Тема опирается на построение центра описанной окружности, центра тяжести и ортоцентра. Если уверенно строить эти точки, то доказательство их связи становится понятнее.

Прямая Эйлера пригодится в задачах на замечательные точки, координаты и доказательство коллинеарности. Соотношение OG:GH = 1:2 позволяет находить длины без полного построения.

Что запомнить

• Прямая Эйлера проходит через O, G и H.
• O — центр описанной окружности, G — центр тяжести, H — ортоцентр.
• Точка G лежит между O и H.
• OG:GH = 1:2.
• OH = 3·OG.
• В равностороннем треугольнике O, G и H совпадают.
• В равнобедренном треугольнике прямая Эйлера совпадает с осью симметрии.