"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Метрические соотношения связывают стороны прямоугольного треугольника с высотой к гипотенузе и проекциями катетов. С их помощью находят неизвестные катеты, гипотенузу, высоту и отрезки гипотенузы, не выполняя измерений. Главная идея темы основана на подобии трёх прямоугольных треугольников. Из неё следуют формулы a² = c·p, b² = c·q, h² = p·q и ab = ch.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высота к гипотенузе — перпендикуляр, проведённый из вершины прямого угла к гипотенузе. Обозначим её длину буквой h. Она делит исходный треугольник на два меньших и помогает связать между собой все его основные отрезки.
Проекция катета на гипотенузу — отрезок гипотенузы, являющийся основанием перпендикуляра, проведённого из соответствующего катета. Если высота делит гипотенузу на отрезки p и q, каждый из них соответствует своему катету. Это нужно, чтобы правильно использовать формулы.
Метрические соотношения — равенства, связывающие длины катетов, гипотенузы, высоты и их проекций. В обозначениях обычно используют катеты a и b, гипотенузу c, высоту h и проекции p и q. Такие равенства позволяют находить неизвестные длины по известным.
Среднее пропорциональное двух отрезков — отрезок, квадрат длины которого равен произведению длин данных отрезков. Например, из h² = p·q следует, что h — среднее пропорциональное отрезков p и q. Это понятие объясняет смысл формулы для высоты.
Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C, а CD — высота к гипотенузе AB. Точка D делит гипотенузу на отрезки AD = p и DB = q, поэтому AB = c, а CD = h. В результате появляются два треугольника: ACD и BCD, и оба они прямоугольные, потому что один из их углов равен 90°.
Исходный треугольник ABC и треугольник ACD подобны по двум углам: у них есть общий угол A, а прямые углы равны. Аналогично ABC и BCD имеют общий угол B и по одному прямому углу. Поэтому все три треугольника подобны друг другу, а их соответствующие стороны пропорциональны.
Рассмотрим катет a, которому соответствует проекция p. Из подобия треугольников получается пропорция a:c = p:a. Перемножая её крайние и средние члены, получаем a² = c·p. Для второго катета рассуждение такое же: b:c = q:b, значит b² = c·q.
Чтобы получить формулу для высоты, сравним два маленьких треугольника. Их соответствующие стороны дают пропорцию p:h = h:q, потому что высота h соответствует сама себе. После перемножения членов пропорции выходит h² = p·q, то есть высота является средним пропорциональным своих отрезков.
Площадь исходного треугольника можно выразить двумя способами: через катеты S = ½ab и через гипотенузу и высоту S = ½ch. Приравняв эти выражения, получаем ab = ch. А так как гипотенуза состоит из двух проекций, всегда выполняется p + q = c. Выбор формулы зависит от того, какие величины даны и что требуется найти.
| Величины | Метрическое соотношение | Геометрический смысл |
|---|---|---|
| Катет, гипотенуза и проекция катета | a² = c·p; b² = c·q | Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета |
| Высота к гипотенузе и её отрезки | h² = p·q | Высота является средним пропорциональным отрезков гипотенузы |
| Катеты, гипотенуза и высота | ab = ch | Произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту |
| Отрезки гипотенузы | p + q = c | Сумма проекций катетов равна гипотенузе |
Сначала определите, какие величины известны, и обозначьте их одинаковыми буквами на схеме или в записи. Затем выберите равенство, в котором есть искомая величина и известные данные. Если найден квадрат длины, не забудьте извлечь корень и выбрать положительное значение.
Условие: гипотенуза равна 25 см, а проекция одного катета на гипотенузу — 9 см. Найти этот катет.
Ответ: 15 см.
Условие: высота к гипотенузе делит её на отрезки 4 см и 9 см. Найти высоту и катеты.
Ответ: h = 6 см, катеты 2√13 см и 3√13 см.
Условие: катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найти гипотенузу, высоту к ней и проекции катетов.
Ответ: гипотенуза 10 см, высота 4,8 см, проекции 3,6 см и 6,4 см.
Путают проекцию катета с самим катетом. Проекция лежит на гипотенузе, а не является наклонной стороной треугольника. Проверьте себя по расположению: после проведения высоты нужная проекция должна быть одним из двух отрезков гипотенузы.
Записывают a² = c·q вместо a² = c·p. Ошибка возникает, если не сопоставить катет с ближайшим к нему отрезком гипотенузы. Для проверки мысленно проведите высоту и убедитесь, что p относится к a, а q — к b.
Забывают извлечь квадратный корень. Равенство вроде a² = 225 ещё не даёт длину катета, а сообщает только его квадрат. После вычисления обязательно запишите a = √225 = 15.
Применяют формулы к произвольному треугольнику. Эти соотношения получены из подобия, которое возникает у прямоугольного треугольника при проведении высоты к гипотенузе. Перед решением проверьте наличие прямого угла и нужной высоты.
Для изучения темы нужны элементы прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, признаки подобия треугольников и свойства пропорций. Метрические соотношения помогают находить стороны и высоты без прямого измерения, поэтому используются в геометрических и практических задачах. Позже они пригодятся при изучении площадей, подобных фигур, тригонометрии и задач на расстояния.
Что называется проекцией катета на гипотенузу?
Это отрезок гипотенузы, на который опирается перпендикуляр, проведённый из соответствующего катета. После проведения высоты к гипотенузе она делится на две такие проекции.
Как понять, какую проекцию подставлять в формулу для катета?
Нужно сопоставить катет с тем отрезком гипотенузы, который лежит рядом с этим катетом. Для катета a используется его проекция p: a² = c·p, а для катета b — проекция q: b² = c·q.
Почему квадрат высоты равен произведению двух отрезков гипотенузы?
После проведения высоты образуются два маленьких треугольника, подобных друг другу и исходному. Из пропорции соответствующих сторон получается h² = p·q.
Можно ли применять метрические соотношения, если треугольник не прямоугольный?
Нет, в таком виде эти формулы верны только для прямоугольного треугольника и высоты, проведённой к его гипотенузе. Для других треугольников нужны иные теоремы.
Как выбрать формулу, если в задаче нужно найти высоту или проекцию?
Если известны две проекции, применяйте h² = p·q. Если известны катеты, гипотенуза и высота, удобно использовать ab = ch, а проекцию находить из a² = c·p или b² = c·q.
§ 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
