"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Теорема Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. С её помощью находят неизвестную сторону, диагональ прямоугольника или расстояние между точками. Главное — правильно определить прямой угол, выбрать гипотенузу и применить нужное преобразование формулы. Обратная теорема позволяет проверить, является ли треугольник прямоугольным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, образующая прямой угол. Если две стороны сходятся под углом 90°, именно они являются катетами; обозначим их буквами a и b. Это обозначение нужно, чтобы записать связь между сторонами в формуле.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Обозначим её буквой c. По её положению легко отличить гипотенузу от катетов, даже если треугольник повернут или нарисован необычно.
Теорема Пифагора утверждает: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b². Квадрат стороны получают умножением её длины самой на себя. Формула позволяет найти любую неизвестную сторону, если известны две другие.
Обратная теорема Пифагора говорит: если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Она не ищет сторону, а проверяет наличие прямого угла. Поэтому сначала сравнивают длины сторон и выбирают наибольшую.
Чтобы определить катеты и гипотенузу, сначала найдите на рисунке прямой угол, обычно отмеченный маленьким квадратиком. Две стороны, образующие этот угол, — катеты, а третья сторона напротив него — гипотенуза. Поворот или изменение размера рисунка ничего не меняет: решающим является не положение стороны на листе, а её отношение к прямому углу.
В формуле складываются именно квадраты длин, потому что теорема связывает не сами стороны, а площади квадратов, построенных на них. Квадрат со стороной a имеет площадь a², квадрат со сторонами b — площадь b², а квадрат на гипотенузе — площадь c². Поэтому равенство c² = a² + b² можно понимать как равенство площадей.
Доказать теорему можно с помощью большого квадрата со стороной a + b. Внутри него размещают четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой c. Между треугольниками остаётся внутренний квадрат со стороной c, поэтому площадь большого квадрата равна 2ab + c².
Те же четыре треугольника можно расположить так, чтобы внутри большого квадрата остались два квадрата со сторонами a и b. Тогда его площадь равна 2ab + a² + b². Приравнивая два выражения для площади одного и того же большого квадрата, получаем 2ab + c² = 2ab + a² + b², а после сокращения — c² = a² + b².
Если неизвестна гипотенуза, из основной формулы получают c² = a² + b², затем извлекают квадратный корень: c = √(a² + b²). Если неизвестен катет, например b, переносят a² в другую часть: b² = c² − a², поэтому b = √(c² − a²). Корень берут не со знаком минус, потому что длина стороны положительна.
Таблица показывает, какую формулу выбрать в зависимости от известной и неизвестной стороны. В строке проверки сначала найдите наибольшую сторону, а затем сравните квадраты. Так легче не перепутать прямую и обратную теоремы.
| Что находят или проверяют | Формула или условие | Что важно учесть |
|---|---|---|
| Гипотенуза | c = √(a² + b²) | Известны оба катета; складывают их квадраты. |
| Первый катет | a = √(c² − b²) | Из квадрата гипотенузы вычитают квадрат второго катета. |
| Второй катет | b = √(c² − a²) | Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. |
| Проверка прямоугольности треугольника | c² = a² + b² | c — наибольшая сторона. |
| Связь между квадратами сторон | c² − a² = b² | Равенство выражает ту же теорему после преобразования. |
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Нужно найти гипотенузу. Обозначим её c, поскольку она лежит напротив прямого угла.
Ответ: гипотенуза равна 10 см. Полученное число больше каждого катета, поэтому результат согласуется со свойством гипотенузы.
Гипотенуза равна 13 см, один катет — 5 см. Требуется найти второй катет, обозначим его b. Поскольку известна гипотенуза, из её квадрата нужно вычесть квадрат известного катета.
Ответ: второй катет равен 12 см. Проверка даёт 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².
Даны стороны 9 см, 40 см и 41 см. Нужно определить, является ли треугольник прямоугольным. Наибольшая сторона равна 41 см, поэтому именно её квадрат проверяем по обратной теореме Пифагора.
Ответ: треугольник прямоугольный. Сторона 41 см является его гипотенузой.
Ученик может назвать гипотенузой любую самую длинную сторону. Так делают потому, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза действительно самая длинная, но это следствие, а не главное определение. Сначала ищите прямой угол и берите сторону напротив него.
Иногда в формуле складывают длины катетов или записывают c = a² + b². Ошибка возникает из-за потери знака квадрата у неизвестной величины. Проверяйте запись: сначала должны быть квадраты, а после извлечения корня — сама длина.
При нахождении катета можно вычесть квадраты в неправильном порядке и получить отрицательное число. Причина обычно в том, что ученик не выделил квадрат гипотенузы отдельно. Записывайте b² = c² − a² и убедитесь, что c — самая длинная сторона.
Для обратной теоремы иногда проверяют не ту сторону, которая является наибольшей. Тогда случайное равенство не даёт правильного вывода о прямом угле. Перед вычислениями расставьте стороны по длине и возводите в квадрат именно наибольшую.
Перед изучением теоремы нужны признаки и свойства прямоугольного треугольника, понимание квадрата числа и навык извлечения квадратного корня. Эти знания помогают правильно выбрать стороны и завершить вычисления. Без них формула легко превращается в механическую запись.
Теорема применяется не только в треугольниках. Ею находят диагонали прямоугольника, расстояния между точками на координатной плоскости и высоты в различных геометрических фигурах. Во многих задачах сначала проводят дополнительный перпендикуляр и получают прямоугольный треугольник.
Обратная теорема помогает доказывать прямоугольность треугольников. Наборы сторон, удовлетворяющие равенству Пифагора, называют пифагоровыми тройками, например 3, 4 и 5. Такие тройки позволяют быстро распознавать прямоугольные треугольники.
Как быстро определить, какая сторона является гипотенузой?
Сначала найдите прямой угол треугольника. Сторона напротив этого угла и есть гипотенуза; в прямоугольном треугольнике она одновременно самая длинная.
Можно ли применять теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику?
В обычном виде c² = a² + b² теорема применяется только к прямоугольному треугольнику. Для непрямоугольных треугольников используют другие зависимости, например теорему косинусов.
Почему при нахождении катета нужно вычитать квадраты?
Из равенства c² = a² + b² нужно убрать квадрат известного катета. Поэтому квадрат неизвестного катета равен разности c² и квадрата известного катета.
Как понять, какую сторону брать за гипотенузу при проверке обратной теоремы?
За гипотенузу берут наибольшую сторону треугольника. Затем проверяют, равен ли её квадрат сумме квадратов двух остальных сторон.
Что делать, если после вычислений под корнем получилось отрицательное число?
Длина стороны не может быть корнем из отрицательного числа. Проверьте, правильно ли выбраны гипотенуза и катет, а также нет ли ошибки в вычислениях или в условии задачи.
§ 16. Теорема Пифагора
