"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. С её помощью можно найти неизвестную сторону, если известны две другие, а также вычислять диагонали прямоугольников и расстояния. Главное — сначала определить прямой угол: напротив него находится гипотенуза, а стороны, образующие этот угол, называются катетами. Для поиска катета из квадрата гипотенузы вычитают квадрат другого катета.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен 90°. На чертеже прямой угол часто отмечают маленьким квадратиком, чтобы его не спутать с остальными. Это определение нужно, потому что теорему Пифагора можно применять именно к такому треугольнику. Если прямого угла нет, формула теоремы не подходит.
Катеты — две стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Их обычно обозначают буквами a и b. Чтобы найти катеты на рисунке, достаточно посмотреть, какие две стороны сходятся в отмеченном прямом угле. Это помогает правильно подставить длины в формулу.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла; её обычно обозначают буквой c. Она длиннее каждого катета, но определяют её не просто по длине: сначала находят прямой угол, а затем противоположную ему сторону. Такое правило позволяет не перепутать стороны, даже если чертёж выполнен не в масштабе.
Теорема Пифагора устанавливает связь между квадратами сторон прямоугольного треугольника: если катеты равны a и b, а гипотенуза — c, то a² + b² = c². Иными словами, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. По этой формуле находят одну неизвестную сторону, когда известны две остальные. Буквы обозначают длины сторон, поэтому в вычислениях важно сохранять единицы измерения.
Представь прямоугольный треугольник ABC, в котором прямой угол находится при вершине C. Стороны AC и BC образуют этот угол, поэтому это катеты; сторона AB расположена напротив него и является гипотенузой. Если обозначить AC = a, BC = b, AB = c, то запись теоремы будет a² + b² = c². Расположение сторон на чертеже важнее того, как они выглядят: гипотенузу определяют по прямому углу.
Теорему можно понять через площади. На каждой стороне треугольника построим квадрат: его площадь равна квадрату стороны, поэтому площади квадратов на катетах равны a² и b², а на гипотенузе — c². Теорема говорит, что площадь последнего квадрата равна сумме площадей двух первых. Поэтому в формуле складываются именно квадраты длин, а не сами длины.
Такую связь можно обосновать разрезанием и сравнением площадей фигур. Если квадраты на катетах разрезать на части и расположить их внутри квадрата на гипотенузе, части заполнят его без промежутков и наложений. Поскольку при разрезании площадь не меняется, площадь большого квадрата равна сумме площадей двух меньших. Это и даёт соотношение c² = a² + b².
Если известны оба катета, по теореме сначала находят квадрат гипотенузы: c² = a² + b². Чтобы получить саму длину c, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей равенства, поэтому c = √(a² + b²). Берут положительный корень, так как длина стороны не бывает отрицательной. Такой порядок не позволяет принять квадрат длины за саму длину.
Чтобы найти катет a, из равенства a² + b² = c² вычтем b²: получится a² = c² − b², а значит, a = √(c² − b²). Квадрат гипотенузы больше квадрата любого катета, потому что к квадрату катета в теореме прибавляется квадрат второго катета. Поэтому под корнем при поиске катета получается положительное число; если вышло иначе, проверь, не перепутаны ли стороны или вычисления.
Сначала определи, какая сторона неизвестна: гипотенуза или катет. Затем выбери нужную строку таблицы и подставь известные длины вместо букв. После вычислений проверь результат по теореме Пифагора и запиши единицу длины.
| Что ищем | Что известно | Формула |
|---|---|---|
| Гипотенузу c | Катеты a и b | c = √(a² + b²) |
| Катет a | Гипотенуза c и катет b | a = √(c² − b²) |
| Катет b | Гипотенуза c и катет a | b = √(c² − a²) |
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу. Ищем сторону напротив прямого угла, значит, неизвестная сторона — гипотенуза. Для неё по теореме нужно сложить квадраты катетов, а не сами длины.
Ответ: 10 см. Проверка: 6² + 8² = 36 + 64 = 100, а 10² = 100. Равенство выполняется, значит, вычисление согласуется с теоремой.
Задача 2. Гипотенуза равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет. Сначала определим неизвестную сторону: это катет, поэтому складывать квадраты нельзя. Квадрат искомого катета получим, вычитая квадрат известного катета из квадрата гипотенузы.
Ответ: 12 см. Проверим результат: 5² + 12² = 25 + 144 = 169, а 13² = 169. Кроме того, гипотенуза 13 см длиннее обоих катетов.
Задача 3. Прямоугольный участок имеет длину 12 м и ширину 9 м. Найдите длину диагонали участка. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника: стороны участка образуют прямой угол, а диагональ находится напротив него. Значит, стороны 12 м и 9 м — катеты, а диагональ — гипотенуза.
Ответ: 15 м. Диагональ длиннее каждой стороны прямоугольника, что согласуется с полученным результатом. Теорема позволила найти её, хотя диагональ не была дана напрямую.
Иногда гипотенузой называют любую сторону, которая кажется самой длинной. Так делают, ориентируясь на внешний вид чертежа, но рисунок может быть условным и не соблюдать масштаб. Определи прямой угол и возьми сторону напротив него; дополнительно проверь, что она длиннее катетов.
Запись c = a + b неверна: теорема связывает квадраты длин, а не сами длины. Ошибка возникает, когда запоминают слова «сумма катетов», пропуская слово «квадратов». Проверь себя: для гипотенузы нужно записать c² = a² + b² и лишь после этого извлечь корень.
При поиске катета иногда складывают квадраты сторон. Это происходит, если не изменить формулу, когда неизвестна не гипотенуза. Вырази квадрат катета отдельно: a² = c² − b². Проверка проста: квадрат гипотенузы должен быть больше квадрата каждого катета.
Ещё одна ошибка — остановиться на найденном квадрате стороны или забыть единицу измерения. Например, если получилось a² = 144, длина катета не 144, а √144 = 12. После извлечения корня запиши сантиметры, метры или другую данную единицу. Подстановка найденной длины обратно в формулу помогает обнаружить пропущенный шаг.
Для работы с теоремой Пифагора нужно уметь распознавать прямой угол, различать стороны треугольника, возводить числа в квадрат и извлекать квадратный корень. Эти действия нужны, чтобы правильно выбрать формулу и получить длину, а не только её квадрат. Теорема применяется и в задачах о прямоугольниках и квадратах: их диагональ образует гипотенузу прямоугольного треугольника. На координатной плоскости таким способом находят расстояние между точками, рассматривая горизонтальное и вертикальное смещения как катеты.
Как определить гипотенузу на чертеже?
Сначала найди прямой угол, обычно его отмечают маленьким квадратиком. Сторона напротив этого угла — гипотенуза; две стороны, которые образуют угол, — катеты.
Можно ли применять теорему Пифагора к любому треугольнику?
Нет, теорема Пифагора применяется только к прямоугольному треугольнику. В нём один угол должен быть равен 90°.
Почему при нахождении катета нужно вычитать квадраты?
Из теоремы a² + b² = c² выразим квадрат неизвестного катета: a² = c² − b². Поэтому квадрат известного катета вычитают из квадрата гипотенузы, а затем извлекают корень.
Как найти гипотенузу, если известны оба катета?
Возведи длины катетов в квадрат и сложи полученные числа: c² = a² + b². Затем извлеки квадратный корень: c = √(a² + b²).
Как проверить, правильно ли найдена сторона?
Подставь найденную длину в формулу Пифагора вместе с известными сторонами. Для гипотенузы сумма квадратов катетов должна равняться её квадрату, а гипотенуза должна быть длиннее каждого катета.
11.3. Теорема Пифагора
